論文の概要: A Rigorous and Self--Contained Proof of the Grover--Rudolph State Preparation Algorithm
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.17930v1
- Date: Sun, 25 Jan 2026 18:00:48 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-01-27 15:23:08.545555
- Title: A Rigorous and Self--Contained Proof of the Grover--Rudolph State Preparation Algorithm
- Title（参考訳）: グラバーの厳密で自己完結した証明-ルドルフ状態生成アルゴリズム
- Authors: Antonio Falco, Daniela Falco-Pomares, Hermann G. Matthies,
- Abstract要約: 各Grover-Rudolphステージはアクティブレジスタ上で一様に制御された$RY$回転であることを示す。
また,Grover-Rudolph の各ステージはゲート辞書 $RY(cdot),X,CNOT(cdottocdot)$ への明示的なアンシラフリーなトランスパイレーションであり,グレイコードはしごとウォルシュ-アダマール角変換を用いることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Preparing quantum states whose amplitudes encode classical probability distributions is a fundamental primitive in quantum algorithms based on amplitude encoding and amplitude estimation. Given a probability distribution $\{p_k\}_{k=0}^{2^n-1}$, the Grover--Rudolph procedure constructs an $n$-qubit state $\ketψ=\sum_{k=0}^{2^n-1}\sqrt{p_k}\ket{k}$ by recursively applying families of controlled one-qubit rotations determined by a dyadic refinement of the target distribution. Despite its widespread use, the algorithm is often presented with informal correctness arguments and implicit conventions on the underlying dyadic tree. In this work we give a rigorous and self-contained analysis of the Grover--Rudolph construction: we formalize the dyadic probability tree, define the associated angle map via conditional masses, derive the resulting trigonometric factorizations, and prove by induction that the circuit prepares exactly the desired measurement law in the computational basis. As a complementary circuit-theoretic contribution, we show that each Grover--Rudolph stage is a uniformly controlled $\RY$ rotation on an active register and provide an explicit ancilla-free transpilation into the gate dictionary $\{\RY(\cdot),X,\CNOT(\cdot\to\cdot)\}$ using Gray-code ladders and a Walsh--Hadamard angle transform.
- Abstract（参考訳）: 振幅が古典的な確率分布を符号化する量子状態の調製は、振幅エンコーディングと振幅推定に基づく量子アルゴリズムの基本的なプリミティブである。
確率分布 $\{p_k\}_{k=0}^{2^n-1}$ が与えられたとき、グロバー=ルドルフの手順は、目標分布の2進精製によって決定される制御された1ビット回転の族を再帰的に適用することにより、$n$-qubit状態 $\ket =\sum_{k=0}^{2^n-1}\sqrt{p_k}\ket{k}$ を構成する。
広く使われているにもかかわらず、このアルゴリズムは、しばしば、下層のダイディックツリーに非公式の正当性引数と暗黙の規則が提示される。
本研究では、グロバー・ルドルフ構成の厳密で自己完結した解析を述べる: ダイアド確率木を形式化し、条件付き質量を通して関連する角度写像を定義し、結果として得られる三角因子化を導出し、回路が正確に所望の測定法則を計算ベースで準備することを証明する。
相補的な回路理論的な寄与として、Grover-Rudolph の各ステージはアクティブレジスタ上で一様に制御された$\RY$回転であり、ゲート辞書 $\{\RY(\cdot),X,\CNOT(\cdot\to\cdot)\} への明示的なアンシラのない変換を提供する。
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