論文の概要: Efficient Quantum Fourier Transforms For Semisimple Algebras

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.05337v1
• Date: Wed, 06 May 2026 18:08:12 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-08 22:27:11.361141
• Title: Efficient Quantum Fourier Transforms For Semisimple Algebras
• Title（参考訳）: 半単純代数のための効率的な量子フーリエ変換
• Abstract要約: 有限群に対する量子フーリエ変換(QFT)を有限次元半単純代数に対するQFTに一般化する。 これらの代数は一般化されたシュル=ワイル双対性、統計物理学、多体系において重要な役割を果たす。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.4744573105338015
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The quantum Fourier transform (QFT) is a fundamental primitive in quantum computation and quantum information. In this work, we generalize the QFT for finite groups to a QFT for finite-dimensional semisimple algebras, and give efficient quantum Fourier transforms for the partition algebra $P_n(d)$, Brauer algebra $B_n(d)$, and walled Brauer algebra $B_{r,s}(d)$. These algebras play important roles in generalized Schur-Weyl duality, statistical physics and many-body systems, and have recently found several applications in quantum algorithms. Unlike the group case, the Fourier transform over a semisimple algebra can be non-unitary. Nevertheless, we show that when the parameter $d$ is sufficiently large, the Fourier transform is well approximated by a unitary operator. Furthermore, we show that for each of the algebras $A$ from above, such an approximate Fourier transform can be implemented efficiently: we give a quantum algorithm with gate complexity $\mathrm{poly}(n,\log d,\log(1/\varepsilon))$ for approximating the Fourier transform to error $(d^{-1/2} + \varepsilon) \cdot \mathrm{poly}(|A|)$. Along the way, we establish several properties of the Fourier basis of semisimple algebras that may be of independent interest.
• Abstract（参考訳）: 量子フーリエ変換(QFT)は、量子計算と量子情報の基本的なプリミティブである。 本研究では、有限群に対する QFT を有限次元半単純代数に対する QFT に一般化し、分割代数 $P_n(d)$, Brauer algebra $B_n(d)$, and walled Brauer algebra $B_{r,s}(d)$ に対して効率的な量子フーリエ変換を与える。 これらの代数は一般化シュル=ワイル双対性、統計物理学、多体系において重要な役割を担い、最近量子アルゴリズムにおいていくつかの応用が発見されている。 群の場合とは異なり、半単純代数上のフーリエ変換は非単体である。 それでも、パラメータ $d$ が十分に大きいとき、フーリエ変換はユニタリ作用素によってよく近似されることを示す。 ゲート複雑性を持つ量子アルゴリズムに$\mathrm{poly}(n,\log d,\log(1/\varepsilon)$を与え、フーリエ変換を誤差$(d^{-1/2} + \varepsilon) \cdot \mathrm{poly}(|A|)$に近似する。 その過程で、独立な興味を持つかもしれない半単純代数のフーリエ基底のいくつかの性質を確立する。

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