論文の概要: Complex abelian varieties and quantum error correction: a mathematical framework for GKP codes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.28784v1
- Date: Wed, 27 May 2026 17:43:30 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-05-28 17:38:56.255349
- Title: Complex abelian varieties and quantum error correction: a mathematical framework for GKP codes
- Title（参考訳）: 複素アーベル多様体と量子誤差補正--GKP符号の数学的枠組み
- Authors: Maxence Mayrand, Baptiste Royer,
- Abstract要約: 複素アーベル多様体の幾何学を通して量子誤り訂正符号のクラスを研究する。
我々は、この関係を正確に数学的に定式化し、それをアーベル多様体論におけるGKP符号理論の主構造と古典的対象の間の辞書に拡張する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study a class of quantum error-correcting codes through the geometry of complex abelian varieties. These codes, introduced by Gottesman--Kitaev--Preskill, are built from symplectically integral lattices and therefore naturally define polarized complex abelian varieties. We give a precise mathematical formulation of this relationship and extend it to a dictionary between the main structures of GKP code theory and classical objects in the theory of abelian varieties. For instance, under this dictionary, the finite-dimensional code space becomes the space of theta functions $H^0(X, L)$, logical Pauli gates arise from the theta group, passive logical Clifford gates correspond to automorphisms of the polarized abelian variety, and concatenation with stabilizer codes corresponds to isogeny. We also prove several key results that give precise mathematical formulations of statements about these codes that often appear in heuristic form in the physics literature. In particular, we prove that the encoding is asymptotically isometric, that every logical Clifford gate is realized by a Gaussian unitary, and that, for noise of small variance, the failure probability is governed to first order by the shortest nontrivial displacement in the kernel of the polarization isogeny, a systolic invariant of the underlying polarization. This leads naturally to optimization problems on the moduli space of polarized abelian varieties.
- Abstract（参考訳）: 複素アーベル多様体の幾何学を通して量子誤り訂正符号のクラスを研究する。
これらの符号は Gottesman--Kitaev--Preskill によって導入され、シンプレクティック積分格子から構築され、したがって偏化複素アーベル多様体を自然に定義する。
我々は、この関係を正確に数学的に定式化し、それをアーベル多様体論におけるGKP符号理論の主構造と古典的対象の間の辞書に拡張する。
例えば、この辞書の下では、有限次元符号空間はテータ函数の空間となる:$H^0(X, L)$, 論理パウリゲートはテータ群から生じ、パッシブ論理クリフォードゲートは偏化アーベル多様体の自己同型に対応し、安定化符号との連結は同種に対応する。
また、物理学の文献にしばしばヒューリスティックな形で現れるこれらの符号に関する文の正確な数学的定式化を与えるいくつかの重要な結果も証明する。
特に、符号化が漸近等方性であること、全ての論理クリフォードゲートがガウスユニタリによって実現されること、そして小さな分散のノイズに対して、障害確率は、下層の分極のシスト的不変量である分極同種核における最短非自明な変位によって一階に支配されることを証明する。
これは自然に偏化アーベル多様体のモジュライ空間の最適化問題につながる。
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