論文の概要: Lattices, Gates, and Curves: GKP codes as a Rosetta stone
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.03270v2
- Date: Wed, 10 Jul 2024 08:06:26 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-07-11 20:39:53.127724
- Title: Lattices, Gates, and Curves: GKP codes as a Rosetta stone
- Title（参考訳）: 格子・門・曲線:ロゼッタ石としてのGKP符号
- Authors: Jonathan Conrad, Ansgar G. Burchards, Steven T. Flammia,
- Abstract要約: GKP クリフォードゲートが対応するGKP格子のシンプレクティック自己同型としてどのように生じるかを説明する。
単一モードのGKP符号に対して、楕円曲線のモジュライ空間を持つすべてのGKP符号の空間を同定する。
我々はGKP符号の普遍的なファミリーを構築し、繊維束の耐障害性を明確に構築する方法を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Gottesman-Kitaev-Preskill (GKP) codes are a promising candidate for implementing fault tolerant quantum computation in quantum harmonic oscillator systems such as superconducting resonators, optical photons and trapped ions, and in recent years theoretical and experimental evidence for their utility has steadily grown. It is known that logical Clifford operations on GKP codes can be implemented fault tolerantly using only Gaussian operations, and several theoretical investigations have illuminated their general structure. In this work, we explain how GKP Clifford gates arise as symplectic automorphisms of the corresponding GKP lattice and show how they are identified with the mapping class group of suitable genus $n$ surfaces. This correspondence introduces a topological interpretation of fault tolerance for GKP codes and motivates the connection between GKP codes (lattices), their Clifford gates, and algebraic curves, which we explore in depth. For a single-mode GKP code, we identify the space of all GKP codes with the moduli space of elliptic curves, given by the three sphere with a trefoil knot removed, and explain how logical degrees of freedom arise from the choice of a level structure on the corresponding curves. We discuss how the implementation of Clifford gates corresponds to homotopically nontrivial loops on the space of all GKP codes and show that the modular Rademacher function describes a topological invariant for certain Clifford gates implemented by such loops. Finally, we construct a universal family of GKP codes and show how it gives rise to an explicit construction of fiber bundle fault tolerance as proposed by Gottesman and Zhang for the GKP code. On our path towards understanding this correspondence, we introduce a general algebraic geometric perspective on GKP codes and their moduli spaces, which uncovers a map towards many possible routes of future research.
- Abstract（参考訳）: Gottesman-Kitaev-Preskill (GKP)符号は超伝導共振器、光光子、閉じ込められたイオンなどの量子調和振動子系においてフォールトトレラント量子計算を実装するための有望な候補である。
GKP符号の論理的クリフォード演算はガウス演算のみを用いて耐障害的に実装できることが知られている。
本稿では、GKP Clifford ゲートが対応するGKP格子のシンプレクティック自己同型としてどのように生じるかを説明し、適切な属 $n$曲面の写像類群とどのように同一視されるかを示す。
この対応はGKP符号に対するトポロジカルなフォールトトレランスの解釈を導入し、GKP符号(格子)とそのクリフォードゲートと代数曲線の間の接続を動機付け、深く探求する。
単一モードのGKP符号に対して、楕円曲線のモジュライ空間を持つすべてのGKP符号の空間を、トレフ結び目が取り除かれた3つの球によって与えられるものとし、対応する曲線上のレベル構造の選択から自由の論理次数がどのように生じるかを説明する。
我々は、クリフォードゲートの実装が、すべてのGKP符号の空間上のホモトピー非自明ループとどのように対応するかについて議論し、モジュラーラデマッハ函数がそのようなループによって実装された特定のクリフォードゲートに対して位相不変量を記述することを示す。
最後に、GKP符号の普遍的なファミリを構築し、GKP符号に対してGottesman と Zhang が提案したように、ファイバーバンドルの耐障害性を明確に構築する方法を示す。
この対応を理解するために、我々はGKP符号とそのモジュライ空間に関する一般幾何学的幾何学的視点を導入する。
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