論文の概要: A holomorphic neural network framework for 3D boundary value problems governed by harmonic potentials
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.31231v1
- Date: Fri, 29 May 2026 12:35:52 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-06-01 20:56:50.603186
- Title: A holomorphic neural network framework for 3D boundary value problems governed by harmonic potentials
- Title（参考訳）: 調和ポテンシャルが支配する3次元境界値問題に対する正則ニューラルネットワークフレームワーク
- Abstract要約: 本稿では,ニューラルネットワークを用いた3次元境界値問題の解法を提案する。
提案した定式化の重要な特徴は、支配的偏微分方程式(PDE)が正確に構成によって満たされることである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We present a neural-network-based framework for the solution of three-dimensional boundary value problems where the solution is expressible in terms of harmonic potentials. The approach leverages the Whittaker integral formula, which allows representing the solution through functions that are holomorphic with respect to a suitable complex variable. These functions are subsequently approximated using holomorphic neural networks, which guaranty fulfillment of the holomorphicity requirement. A key feature of the proposed formulation is that the governing partial differential equations (PDEs) are satisfied exactly by construction. Therefore, in contrast to standard physics-informed neural networks, no residual minimization of PDEs is required in the interior of the domain, and training is based exclusively on boundary collocation points. The method is validated against three-dimensional Laplace and linear elasticity problems, where, in the latter case, displacement and stress fields are expressed via the Papkovich-Neuber potentials. The numerical results show an accurate approximation of both scalar and vector fields, with errors remaining controlled throughout the domain. Overall, the work demonstrates that the incorporation of analytical structures into neural network architectures provides a natural and effective framework for the meshless approximation of three-dimensional boundary value problems while preserving the underlying properties of the governing equations.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,高調波ポテンシャルの観点で解を表現可能な3次元境界値問題の解を求めるニューラルネットワークベースのフレームワークを提案する。
このアプローチはウィテカー積分公式を利用し、適当な複素変数に対して正則な函数を通して解を表現できる。
これらの関数はその後、正則性要求を満たす正則ニューラルネットワークを用いて近似される。
提案した定式化の重要な特徴は、支配的偏微分方程式(PDE)が正確に構成によって満たされることである。
したがって、標準物理インフォームドニューラルネットワークとは対照的に、ドメインの内部ではPDEの残留最小化は不要であり、トレーニングは境界コロケーションポイントのみに基づいて行われる。
この方法は3次元ラプラスおよび線形弾性問題に対して検証され、後者の場合、変位場と応力場はパプコビッチ・ネウバーポテンシャルを介して表現される。
数値計算の結果、スカラー場とベクトル場の両方の正確な近似が示され、誤差は領域全体にわたって制御されている。
全体として、ニューラルネットワークアーキテクチャに解析構造を組み込むことは、3次元境界値問題のメッシュレス近似のための自然な効果的なフレームワークを提供すると同時に、支配方程式の基礎的な性質を保っていることを示す。
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