論文の概要: Transversal Difference Numbers in Finite Abelian Quotients
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.27961v1
- Date: Fri, 26 Jun 2026 11:03:47 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-06-29 18:24:25.471528
- Title: Transversal Difference Numbers in Finite Abelian Quotients
- Title（参考訳）: 有限アベリア分数における可逆差数
- Abstract要約: 有限アーベル群 (Hleq G) が与えられたとき、(G/H) に対する a (Tsubseteq G) は固定サイズ (|G/H|) を持つが、その周囲差分担 (D(T)=T-T) は (G) への (H) の埋め込みによって変化する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Given \(H\leq G\) finite abelian groups, a transversal \(T\subseteq G\) for \(G/H\) has fixed size \(|G/H|\), but its ambient difference support \(D(T)=T-T\) can vary with the embedding of \(H\) in \(G\). We call $ δ(G,H)=\min_T |D(T)| $ the transversal difference number of the pair \((G,H)\). This invariant is related to finite abelian factorisation, tiling complements, and small-sumset questions, and is motivated by recent work regarding ambient Galois labels in CRT transforms for cyclotomic-subfield homomorphic encryption. We prove various results regarding this invariant, including a general lower bound $δ(G,H)\geq 2|G/H|-m(G,H), $ where \(m(G,H)\) is the largest order of a subgroup of \(G\) disjoint from \(H\). The bound is sharp for cyclic quotients, and Kneser's theorem gives a cross-transversal estimate leading to exact product families with one nonsplit cyclic coordinate and arbitrary split factors. These results isolate the first genuinely new residual obstruction, namely the same-prime square plane \[ G=(\mathbb Z/p^2\mathbb Z)^2,\qquad H=pG. \] For odd \(p\), this case is the technical core of the paper. Here transversals are graphs of functions \(\mathbb F_p^2\to \mathbb F_p^2\), and \(D(T)\) decomposes into carry-corrected finite-field derivative images. We conjecture that \[ δ(G,H)=(2p-1)^2 \] for all odd primes \(p\), prove the unconditional lower bound \(3p^2-p-1\), and give small-prime, probabilistic, and fixed-polynomial evidence for the conjecture.
- Abstract（参考訳）: 有限アーベル群 \(H\leq G\) が与えられたとき、 \(G/H\) の逆数 \(T\subseteq G\) は固定サイズ \(|G/H|\) を持つが、その周囲差分サポート \(D(T)=T-T\) は \(G\) の埋め込みによって変化する。
δ(G, H)=\min_T |D(T)| $ は対 \((G, H) の逆差数である。
この不変式は有限アーベル分解、タイリング補数、小さなサマセット問題と関連しており、CRT変換におけるサイクロトミック-部分体準同型暗号の周辺ガロアラベルに関する最近の研究によって動機づけられている。
一般の下界 $δ(G,H)\geq 2|G/H|-m(G,H), $ where \(m(G,H)\) は \(H\) の部分群の最大の位数である。
境界は巡回商に対して鋭く、クネーサーの定理は1つの非分割巡回座標と任意の分解因子を持つ厳密な積族へと導く横断的推定を与える。
これらの結果は、最初の真に新しい残留障害物、すなわち同じ原始平方面 \[G=(\mathbb Z/p^2\mathbb Z)^2,\qquad H=pG を分離する。
\] 奇数 \(p\) の場合、このケースは論文の技術的な中核となる。
ここでの超越は函数 \(\mathbb F_p^2\to \mathbb F_p^2\) のグラフであり、 \(D(T)\) はキャンピング補正有限場微分像に分解される。
任意の奇素数 \(p\) に対して \[ δ(G,H)=(2p-1)^2 \] を予想し、無条件の下界 \(3p^2-p-1\) を証明し、この予想の小さな素数、確率的、固定されたポリノミカルな証拠を与える。
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