論文の概要: A Statistical Formulation Gap for Nonlinear Multiscale Physics-Informed Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.15702v1
• Date: Fri, 17 Jul 2026 07:26:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-20 17:56:52.781276
• Title: A Statistical Formulation Gap for Nonlinear Multiscale Physics-Informed Learning
• Title（参考訳）: 非線形多スケール物理インフォームドラーニングのための統計的定式化ギャップ
• Abstract要約: 非線形多スケール楕円型方程式の物理インフォームドラーニングのための有限サンプル定式化ギャップを証明した。 スケール$$の係数を持つ一様単調発散型クラスに対しては、有限幅、有限サンプル、有限イット振動誤差を境界互換の変分型ニューラルソルバに有界に導出する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We prove a finite-sample formulation gap for physics-informed learning of nonlinear multiscale elliptic equations. For a uniformly monotone divergence-form class with coefficients oscillating at scale $ε$, we derive a finite-width, finite-sample, and finite-iteration error bound for a boundary-compatible variational neural solver. Its stability, sampling, and optimization constants are independent of $ε$, while all unresolved scale dependence is isolated in the best-approximation error. We then construct a minimal obstruction witness for a one-dimensional periodic diffusion equation with cubic reaction. Already on the one-parameter family $v_c(x)=cx(1-x)$, the empirical Rademacher complexity of the strong residual is bounded below by a constant multiple of $(ε\sqrt{N})^{-1}$, while that of the squared strong-residual loss is bounded below by a constant multiple of $(ε^2\sqrt{N})^{-1}$. These are optimizer-independent properties of the sampled residual and loss classes, rather than neural-tangent-kernel conditioning statements. The corresponding variational energy complexity is bounded above by a constant multiple of $N^{-1/2}$ uniformly in $ε$. A tensor-product construction shows that the same obstruction rates persist in every spatial dimension. Numerical evaluation gives fitted exponents $0.9971$, $1.9860$, and $-0.0028$ for the strong residual, squared strong loss, and variational energy, respectively. Thus, differentiating the microscopic coefficient creates finite-sample statistical ill-conditioning. The variational formulation removes this statistical penalty but does not remove the separate multiscale approximation problem.
• Abstract（参考訳）: 非線形多スケール楕円型方程式の物理インフォームドラーニングのための有限サンプル定式化ギャップを証明した。 スケール$ε$で振動する係数を持つ一様単調発散型クラスに対して、境界互換の変分ニューラルネットワークに対して有限幅、有限サンプル、有限点誤差を導出する。 その安定性、サンプリング、最適化定数は$ε$とは独立であり、すべての未解決スケール依存は最高の近似誤差で分離される。 次に、立方体反応を伴う1次元周期拡散方程式の最小閉塞証書を構築する。 1パラメータ族 $v_c(x)=cx(1-x)$ 既に、強残留の経験的ラデマッハ複雑性は、$(ε\sqrt{N})^{-1}$ の定数倍で下界する一方、正方形の強残留損失は$(ε^2\sqrt{N})^{-1}$ の定数倍で下界する。 これらは、ニューラルタングエント・カーネル条件文ではなく、サンプリングされた残留クラスと損失クラスのオプティマイザ非依存の特性である。 対応する変動エネルギーの複雑性は、上述の定数倍の$N^{-1/2}$が$ε$で一様に有界である。 テンソル積の構成は、同じ閉塞率がすべての空間次元に持続することを示している。 数値評価により、装着された指数はそれぞれ0.9971ドル、1.9860ドル、および0.0028ドルである。 したがって、顕微鏡係数の微分は有限サンプル統計条件を生成する。 変分定式化は、この統計的ペナルティを除去するが、別個のマルチスケール近似問題を除去しない。

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