論文の概要: When Rates Are Geometric: Rate-Certificate Transfer for Contact Splittings in Optimization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.23642v1
- Date: Sun, 26 Jul 2026 13:12:58 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-28 22:34:15.178964
- Title: When Rates Are Geometric: Rate-Certificate Transfer for Contact Splittings in Optimization
- Title（参考訳）: 幾何学的レート:最適化における接触分割のためのレート証明書転送
- Abstract要約: A contact Hamiltonian $H$ on $J1(mathbbRn)$ is follow the intrinsic decay identity $dot H = -H,partial_s H$.
拡張エネルギー$mathcalE$を$H$から構築すると、$mathcalE$が目標ギャップを制御するたびに、連続時間レート証明書になる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: Discrete optimization algorithms are often analyzed through continuous-time limiting ODEs, but a convergence certificate for the ODE is not automatically one for the discrete algorithm. We develop contact Hamiltonian systems as a setting where the transfer can be made precise. A contact Hamiltonian $H$ on $J^1(\mathbb{R}^n)$ obeys the intrinsic decay identity $\dot H = -H\,\partial_s H$, so an augmented energy $\mathcal{E}$ built from $H$, together with the conformal rate $\partial_s H$, is a continuous-time rate certificate whenever $\mathcal{E}$ controls the objective gap. Our main theorem states, under three named and independently checkable hypotheses, that an order-$r$ contact splitting with step $h$ transfers this certificate over the finite horizon set by backward error analysis. The discrete decay envelope is governed by the modified conformal factor up to $O(h^r)$ perturbations plus a backward-error shadowing defect, and the mechanism is inherited exactly because the modified Hamiltonian is itself a contact Hamiltonian. Quadratic heavy ball is a fully solvable example: its projected dissipative-leapfrog spectrum agrees with established conformal-symplectic optimization theory, while the augmented contact Hamiltonian yields a sharp objective-to-certificate comparison that verifies the transfer hypotheses. For strongly convex objectives with state-dependent damping, an explicit Bregman-type Lyapunov certificate instead transfers by an auxiliary-shadowing corollary. The decomposition $H=K+V+D$ into kinetic, objective-encoding potential, and dissipation terms serves as a design template, with a catalogue of closed-form sub-flows including contact-specific damping families. Numerical experiments confirm the predicted conformal-factor tracking orders and show competitive performance on ill-conditioned benchmarks and deep-learning tasks.
- Abstract（参考訳）: 離散最適化アルゴリズムは、しばしば連続時間制限ODEを通して解析されるが、ODEの収束証明書は離散アルゴリズムの1つではない。
我々は、転送を正確に行うことができる設定として、ハミルトン系と接触する。
A contact Hamiltonian $H$ on $J^1(\mathbb{R}^n)$ は内在的な崩壊恒等式である $\dot H = -H\,\partial_s H$ に従うので、拡張エネルギー $\mathcal{E}$ は $H$ から構築され、コンフォメーションレート $\partial_s H$ は $\mathcal{E}$ が目標ギャップを制御するときの連続時間レート証明書である。
我々の主定理は、3つの名前付き、独立にチェック可能な仮説の下で、ステップ$h$で割り切れるオーダー$r$の接触は、後方誤差解析によって設定された有限地平線上でこの証明書を転送する、というものである。
離散崩壊エンベロープは、修正された共形因子によって最大$O(h^r)$摂動と後方誤差のシャドーイング欠陥によって制御され、この機構は修正されたハミルトンがそれ自体が接触ハミルトンであるから、正確に継承される。
射影散逸型リープフロッグスペクトルは、確立された共形-シンプレクティック最適化理論と一致し、強化された接触ハミルトンは、伝達仮説を検証したシャープな客観的-証明的な比較をもたらす。
状態依存型減衰による強い凸目的のために、明示的なブレグマン型リャプノフ証明は補助シャドウ・コローナリーによって転送される。
H=K+V+D$の速度論的、客観的エンコードポテンシャル、散逸項への分解は、接触特異的減衰族を含む閉形式のサブフローのカタログを含む設計テンプレートとして機能する。
数値実験により、予測された共形要素追跡順序を確認し、不条件のベンチマークやディープラーニングタスク上での競合性能を示す。
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