論文の概要: The Born Representation Theorem and the Unistochastic Theorem

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.04354v1
• Date: Wed, 05 Aug 2026 01:55:06 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-06 14:48:43.687976
• Title: The Born Representation Theorem and the Unistochastic Theorem
• Title（参考訳）: 生まれながらの表現論とユニストカスティック論
• Authors: Jacob A. Barandes,
• Abstract要約: 本稿では、行列に関する2つの新しい定理の自己完備な構成的証明と、量子論への直接的な関連性を示す。 ボルン表現定理(Born Representation Theorem)は、任意の行列の各エントリがペア積のトレースとして表現できることを示している。 ユニストチャスティック定理(英語版)は、基底ベクトル空間を有界な余次元数で拡張することにより、任意の行列の各エントリが対積のトレースの言葉で表現できることを示している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: This paper presents self-contained, constructive proofs of two new theorems about stochastic matrices, with direct relevance to quantum theory. The first theorem, herein called the Born Representation Theorem, shows that each entry of any stochastic matrix can be expressed as the trace of a pairwise product of matrices, where the first factor in the pairwise product belongs to a positive-operator-valued measure (POVM) and the second factor belongs to a projection-valued measure (PVM). As its name suggests, this theorem entails that the entries of any stochastic matrix can be expressed in terms of a generalized version of the quantum-theoretic Born rule. It follows as a corollary that if the POVM in this first theorem is a PVM, then the stochastic matrix is unistochastic, meaning that its entries are each the modulus square of the corresponding entry of a unitary matrix of the same size. The second theorem proved in this paper, called the Unistochastic Theorem, then shows that by dilating the underlying vector space by a bounded number of additional dimensions if necessary, each entry of any stochastic matrix can be expressed in terms of the trace of a pairwise product for which both factors belong to PVMs, and can thus be derived via marginalization from a larger unistochastic matrix. This second theorem therefore establishes a kind of primacy of unistochastic matrices over stochastic matrices, and hints at a close connection with unitary time evolution in quantum theory. The paper concludes with a brief discussion of potential applications to discrete-time deterministic processes and Markov chains.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、確率行列に関する2つの新しい定理の自己完備な構成的証明と、量子論への直接的な関連性を示す。 第1の定理はボルン表現定理と呼ばれ、任意の確率行列の各項を行列の対積のトレースとして表すことができ、対積の第一の因子は正の演算値測度(POVM)に属し、第二の因子は射影値測度(PVM)に属する。 その名前が示すように、この定理は任意の確率行列の成分が、量子論的ボルン則の一般化されたバージョンで表現できることを意味する。 この最初の定理のPOVM が PVM であれば、確率行列は非正則であり、その成分は、同じ大きさのユニタリ行列の対応するエントリーのモジュラー正方形である。 この論文で証明された第2の定理は、ユニスト確率定理と呼ばれ、必要であれば、任意の確率行列の各エントリは、PVMに属するペア積のトレースで表現でき、したがってより大きい非正則行列から余分化によって導出できることを示す。 この第二の定理は、確率行列に対する一様行列の優位性を確立し、量子論におけるユニタリ時間進化と密接な関係を示唆する。 この論文は、離散時間決定過程やマルコフ連鎖への潜在的な応用についての簡単な議論で締めくくっている。

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