論文の概要: A Theory of Speciation in Generative Diffusion Models on Compact Riemannian Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.23798v2
• Date: Wed, 26 Aug 2026 16:39:22 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-27 14:15:15.081343
• Title: A Theory of Speciation in Generative Diffusion Models on Compact Riemannian Manifolds
• Title（参考訳）: コンパクトリーマン多様体上の生成拡散モデルにおける種分化の理論
• Authors: Alessio Marta, Paola Causin,
• Abstract要約: 生成拡散モデルの種分化は、発声中の異なる安定な枝の出現を示す。 我々は、通常対称ピッチフォーク分岐による偏差を識別する既存の理論記述を超越する。 ニューラルネットワークに基づくチャートに基づく本質的なスコア学習スキームは、プロトタイパーの理論的に予測された遷移と対比する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.05729426778193397
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Speciation in generative diffusion models denotes the emergence of distinct stable branches during denoising, through which initially undifferentiated trajectories progressively commit to different data classes. In this work we develop an intrinsic theory of speciation for diffusion models supported on compact Riemannian manifolds: the aim is to go beyond existing theoretical descriptions, which usually identify speciation with a symmetric pitchfork bifurcation and assume to work in a large-dimensional space. We characterize speciation by bifurcations of the critical points of the evolving probability density. A spectral heat-kernel representation makes explicit the role of the manifold geometry, while Poincaré-Hopf and Morse theory impose global constraints on the number and type of score equilibria and reveal topologically-imposed geometrical modes. For mixtures of heat kernels, we prove that generic speciation events have a one-dimensional critical kernel and admit an A2 fold normal form; pitchforks and simultaneous multidirectional transitions arise from nongeneric symmetric configurations. We derive geometry-dependent estimates of speciation times for bimodal mixtures and Riemannian regular simplices. We further establish structural stability of nondegenerate folds under score perturbations and show that the first-order time shift is determined solely by the component of the score error along the critical direction. The theory is illustrated on the sphere using mixtures of von Mises-Fisher distributions, where pitchfork and saddle-node bifurcations, topological modes, and hierarchical multiple speciations are observed. Finally, a chart-based intrinsic score-learning scheme based on neural networks contrasts the theoretically predicted transitions on prototypal and more complex datasets.
• Abstract（参考訳）: 生成拡散モデルの種分化は、初期未分化の軌跡が異なるデータクラスに徐々にコミットする、特定された安定な枝の出現を示す。 本研究では、コンパクトリーマン多様体上で支持される拡散モデルに対する偏微分の本質的な理論を開発する:目的は、既存の理論的な記述を超越することであり、通常は対称ピッチフォーク分岐による偏差を識別し、大次元空間で作用することを前提とする。 進化する確率密度の臨界点の分岐により、種分化を特徴付ける。 スペクトル熱カーネル表現は多様体幾何学の役割を明確にする一方、ポアンカレ=ホップとモース理論はスコア平衡の数と種類に大域的な制約を課し、位相的に仮定された幾何学的モードを明らかにする。 熱核の混合に対して、一般種分化事象は1次元臨界核を持ち、A2の折りたたみ正規形を持つことを証明し、ピッチフォークと同時多方向性遷移は非ジェネリック対称な構成から生じる。 バイモーダル混合とリーマン正則簡約に対する幾何依存的な偏差時間の推定を導出する。 さらに、スコア摂動下での非退化折り目の構造安定性を確立し、第一次時間シフトが臨界方向に沿ったスコア誤差の成分によってのみ決定されることを示す。 この理論は、von Mises-Fisher分布の混合を用いて球面上に説明され、ピッチフォークとサドルノード分岐、トポロジカルモード、階層的多重偏差が観察される。 最後に、ニューラルネットワークに基づくチャートベースの固有スコア学習スキームは、プロトタイパーおよびより複雑なデータセットに関する理論的に予測された遷移と対比する。

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