論文の概要: On APN Functions with Boomerang Uniformity One over $\mathbb F_{3^n}$: Differential and Boomerang Spectra and CCZ-Inequivalence

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.08968v1
• Date: Tue, 08 Sep 2026 16:19:46 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-11 15:10:59.530886
• Title: On APN Functions with Boomerang Uniformity One over $\mathbb F_{3^n}$: Differential and Boomerang Spectra and CCZ-Inequivalence
• Title（参考訳）: ボメラン一様性を持つAPN関数に$\mathbb F_{3^n}$:微分スペクトルとボメランスペクトルとCCZ-不等式
• Abstract要約: すべての$widetilde G_c$がAPNであり、1または2のブーメラン均一性を持つことを示す。 また、DO PN関数の符号スイッチ間のCCZ同値が、元のPN関数間のEA同値を強制することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.27998963147546135
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Let $q=3^n$, where $n>1$ is odd, and let $g:\Fq\to\Fq$ be a perfect nonlinear (PN) function represented by a Dembowski--Ostrom (DO) polynomial. Put $τ=g(1)$, let $ε$ be the indicator of $\Fthree^*$, and, for $c\in\Fq$, define $\widetilde G_c(x):=g(x+c)+τε(x)$. We prove that every $\widetilde G_c$ is APN and has boomerang uniformity either one or two. More precisely, \[ β_{\widetilde G_c}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad c\in\mathcal C_g :=\{c\in\Fq\setminus\Fthree:g(c)+τ\notin g(\Fq)\}, \qquad |\mathcal C_g|=\frac{q-3}{2}, \] whereas $β_{\widetilde G_c}=2$ for the remaining $(q+3)/2$ parameters. We determine the common differential spectrum and complete boomerang spectra of all the functions $\widetilde G_c$. Since boomerang uniformity one is the least possible for an APN function over a finite field of odd characteristic, this gives, to the best of our knowledge, the first general construction yielding infinite families of APN functions attaining this optimum. This common differential spectrum rules out CCZ equivalence with every power function and every Ness--Helleseth-type binomial. We also prove that CCZ equivalence between sign-switches of DO PN functions forces EA equivalence between the original PN functions. Using the orders of the nuclei of the associated presemifields, we exhibit, for infinitely many odd $n$, three pairwise CCZ-inequivalent PN functions over $\F_{3^n}$, one from each of the Gold $f_1$, Ding--Yuan $f_3$, and Bierbrauer $f_5$ families. Consequently, over each such field, our construction produces three pairwise CCZ-inequivalent APN functions with boomerang uniformity one. The smallest extension degree obtained in this way is $n=45$.
• Abstract（参考訳）: $q=3^n$ とすると、$n>1$ は奇数であり、$g:\Fq\to\Fq$ を Dembowski-Ostrom (DO) 多項式で表される完全非線形(PN)函数とする。 τ=g(1)$, $ε$ を$\Fthree^*$ の指標とし、$c\in\Fq$ を $\widetilde G_c(x):=g(x+c)+τε(x)$ とする。 すべての$\widetilde G_c$ が APN であり、1 または 2 のブーメラン均一性を持つことを示す。 より正確には、 \[ β_{\widetilde G_c}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad c\in\mathcal C_g :=\{c\in\Fq\setminus\Fthree:g(c)+τ\notin g(\Fq)\}, \qquad |\mathcal C_g|=\frac{q-3}{2}, \] に対して $β_{\widetilde G_c}=2$ である。 すべての関数の共通微分スペクトルと完全ブーメランスペクトルを$\widetilde G_c$で決定する。 ブーメラン均一性 1 は奇標数の有限体上の APN 関数に対して最小限であるため、このことは我々の知る限り、この最適値を得るAPN 関数の無限族を生成できる最初の一般構成を与える。 この一般的な微分スペクトルは、すべてのパワー関数とすべてのネッス-ヘレセス型二項とCCZ同値を規定する。 また、DO PN関数の符号スイッチ間のCCZ同値が、元のPN関数間のEA同値を強制することを示す。 関連するプレセミフィールドの核の位数を用いて、無限に多くの奇数$n$, 3対のCCZ-同値なPN関数を$\F_{3^n}$で表し、金の$f_1$, Ding--Yuan $f_3$, Bierbrauer $f_5$ の各族からそれぞれ1つを得る。 その結果、各分野において、ブーメラン一様性を持つ3つのCCZ-等価APN関数が生成される。 この方法で得られる最小の拡張次数は$n=45$である。

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