論文の概要: Neural Harmonic Measure Operator

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.35752v1
• Date: Mon, 28 Sep 2026 17:58:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-01 19:08:01.572365
• Title: Neural Harmonic Measure Operator
• Title（参考訳）: ニューラルハーモニック計測演算子
• Abstract要約: 可変形状領域上の楕円型PDE問題に対するニューラル・ハーモニック測度演算子 (NHMO) を導入する。 NHMOは、Walk-on-Spheres出口サンプルによって制御されるトランスフォーマーベースの境界カーネルとして測定値の密度をパラメータ化する。 新たなバウンダリ値と新しいソースはどちらも、リトレーニングなしで、実装されたカーネルとリフトに対して再積分することでPDEソリューションを生成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 20.575248786067068
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We introduce Neural Harmonic Measure Operator (NHMO), a neural solver for elliptic PDE problems on variable-shape domains. The harmonic measure of a domain is the boundary probability distribution that, integrated against any boundary data, returns the Dirichlet Laplace solution. It depends only on the geometry, not on the boundary data. NHMO parameterizes the density of this measure as a transformer-based boundary kernel supervised by Walk-on-Spheres exit samples, so one trained kernel handles different boundary values on a shape with no retraining. We extend it to Poisson via a classical decomposition, with an auxiliary network amortizing the source-induced correction and avoiding the singular volume quadrature that breaks direct evaluation. At inference, new boundary values and new sources both yield PDE solutions by re-integration against the fitted kernel and lift, with no retraining. NHMO improves over four prior baselines on the MCB-B 3D variable-shape Poisson benchmark across all five categories, and is competitive with major neural-operator baselines on a controlled 2D testbed.
• Abstract（参考訳）: 可変形状領域上の楕円型PDE問題に対するニューラル・ハーモニック測度演算子 (NHMO) を導入する。 領域の調和測度は境界確率分布であり、任意の境界データに対して統合され、ディリクレ・ラプラス解を返す。 それは幾何学にのみ依存し、境界データには依存しない。 NHMOは、この測定値の密度をウォーク・オン・スフェース出口サンプルによって制御されるトランスフォーマーベースの境界カーネルとしてパラメータ化している。 我々はこれを古典的な分解を通じてポアソンに拡張し、ソース誘起補正を補正し、直接評価を破る特異体積二次性を避ける補助的なネットワークを持つ。 推論では、新しい境界値と新しいソースの両方が、入出力されたカーネルとリフトに対して再積分し、再学習することなくPDEソリューションを生成する。 NHMOは、MCB-B 3D変数形Poissonベンチマークの以前の4つのベースラインを改善し、制御された2Dテストベッド上の主要なニューラルネットワークベースラインと競合する。

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