論文の概要: Learning in the Transverse Subspace: A Minimal Representation for Divergence-Free Operator Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.35884v1
• Date: Sun, 27 Sep 2026 00:38:20 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-30 21:28:46.879301
• Title: Learning in the Transverse Subspace: A Minimal Representation for Divergence-Free Operator Learning
• Title（参考訳）: 横部分空間における学習: ダイバージェンスフリーな演算子学習のための最小表現
• Abstract要約: 微分自由ベクトル場は非圧縮性流れや多くのPDE系における基本状態変数である。 神経保護法(NCL)ポテンシャルを含む冗長パラメータ化は、複数の補助的な表現を同じ物理場にマッピングする。 実(D)-次元領域上の実(D)-成分の発散のないベクトル場を符号化する最小表現を導入する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.780792537808271
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Divergence-free vector fields are fundamental state variables in incompressible flows and many PDE systems. Redundant parameterizations, including Neural Conservation Law (NCL) potentials, map multiple auxiliary representations to the same physical field. Our experiments show that this redundancy can reduce static representation-fitting error by enlarging the set of equivalent solutions, but the resulting many-to-one mapping does not provide a unique state for operator learning. We introduce a minimal representation that encodes a real \(D\)-component divergence-free vector field on a \(D\)-dimensional domain as a real \((D-1)\)-component field on the same domain. Exploiting the transverse structure imposed by incompressibility in Fourier space, we use a Householder orthogonal transformation to construct the reduced coordinates directly. For periodic and closed impermeable fields, the transform is invertible, isometric, and angle-preserving. For open nonperiodic flows, Fourier extension constructs a compatible periodic field, and a minimum-energy rule selects a unique reduced representation. Neural operators then learn temporal evolution entirely in this reduced space. At inference, the predicted \((D-1)\)-component field is decoded directly into a physical divergence-free \(D\)-component field, without predicting an ambient field or applying post-hoc projection. Experiments on static fitting and temporal prediction reveal a task-dependent trade-off: redundancy facilitates static optimization, whereas unique invertible coordinates provide a well-defined state for temporal dynamics. By removing unconstrained longitudinal or null directions from the learned state space, the proposed formulation achieves lower prediction error and greater robustness while preserving divergence freedom by construction.
• Abstract（参考訳）: 微分自由ベクトル場は非圧縮性流れや多くのPDE系における基本状態変数である。 神経保護法(NCL)ポテンシャルを含む冗長パラメータ化は、複数の補助的な表現を同じ物理場にマッピングする。 この冗長性は等価解の集合を大きくすることで静的表現整合誤差を低減することができるが、結果として得られる多対一写像は演算子学習にユニークな状態を与えない。 我々は、同じ領域上の実(D-1)-成分体として、(D)-次元領域上の実(D)-成分微分自由ベクトル場を符号化する最小表現を導入する。 フーリエ空間において非圧縮性によって課される横構造をエクスプロイトし、還元座標を直接構成するためにハウスナー直交変換を用いる。 周期的および閉不透過性体に対しては、変換は可逆、等尺、および角度保存である。 開非周期フローに対しては、フーリエ拡大は互換周期体を構成し、最小エネルギー規則は一意的に減少する表現を選択する。 ニューラル作用素は、この縮小された空間で時間的進化を完全に学習する。 推論において、予測された \((D-1)\)-成分体は、周囲の場を予測したり、ポストホック射影を適用したりすることなく、直接、物理的発散のない \(D\)-成分体にデコードされる。 冗長性は静的最適化を促進するが、ユニークな可逆座標は時間的ダイナミクスに対して明確に定義された状態を与える。 学習状態空間から制約のない長手方向やヌル方向を除去することにより,構成による分岐自由を保ちつつ,予測誤差の低減とロバスト性の向上を実現する。

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