論文の概要: Sparse Carleman Embeddings for Nonlinear Discrete Dynamical Systems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.35824v1
- Date: Mon, 26 Oct 2026 17:48:13 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-29 17:58:15.105568
- Title: Sparse Carleman Embeddings for Nonlinear Discrete Dynamical Systems
- Title（参考訳）: 非線形離散力学系に対するスパースカールマン埋め込み
- Abstract要約: 強制2次離散系に対するカールマン埋め込みについて検討する。
トルーニケーション誤差は埋め込み度とともに幾何的に減少することを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.847280100380157
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Discrete nonlinear dynamical systems arise in population models, iterative optimization, and numerical simulations, where computing many iterations can be costly in high dimensions. We study Carleman embedding for forced quadratic discrete systems and its application to quantum state preparation. Under explicit stability and initial-state assumptions, we prove that the truncation error decreases geometrically with the embedding degree, uniformly over all iterations. A central obstacle in discrete time is that the lifted update can become dense even when the original coefficient maps are sparse. We overcome this obstacle by constructing an exact auxiliary linear-system representation that applies the coefficient maps one tensor factor at a time, with row and column sparsities bounded independently of the truncation degree. After rescaling, the associated history system has a condition number that grows linearly with the iteration count, uniformly in the truncation degree. These results yield a quantum algorithm for preparing an approximation to the normalized $n$th iterate with constant success probability. Under coherent input-access assumptions, and for fixed sparsity, stability parameters, and a known positive lower bound on the final-state norm, the oracle query complexity is linear in $n$ and polylogarithmic in the inverse accuracy. Numerical experiments in one and three dimensions illustrate the convergence of the truncated embedding.
- Abstract（参考訳）: 離散非線形力学系は、集団モデル、反復最適化、数値シミュレーションにおいて発生し、多くの反復を高次元で計算することができる。
強制2次離散系に対するカールマン埋め込みとその量子状態生成への応用について検討する。
明示的な安定性と初期状態仮定の下では、トランケーション誤差は埋め込み次数とともに幾何学的に減少し、全ての反復に対して均一に減少することが証明される。
離散時間における中心的な障害は、元の係数写像がスパースである場合でも、リフトされた更新が密集する可能性があることである。
この障害を克服するために、係数を一度に1つのテンソル因子を写像する正確な補助線形系表現を構築し、行と列の間隔はトラルニケート次数とは無関係に有界である。
再スケーリング後、関連する履歴システムは、反復数と線形に成長する条件数を持つ。
これらの結果から、正規化された$n$thに一定の成功確率で近似を準備するための量子アルゴリズムが得られる。
コヒーレントな入力アクセス仮定と、固定間隔、安定性パラメータ、および最終状態ノルム上の既知の正の低い境界の下では、オラクルクエリの複雑さは、逆精度で$n$で線形であり、多対数的である。
1次元と3次元の数値実験は、切り裂かれた埋め込みの収束を描いている。
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