論文の概要: Second-order Sinkhorn Geometry and $\sqrt{n}$-Inference

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.36488v1
• Date: Tue, 27 Oct 2026 01:44:09 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-28 21:04:31.460916
• Title: Second-order Sinkhorn Geometry and $\sqrt{n}$-Inference
• Title（参考訳）: 2階シンクホーン幾何と$\sqrt{n}$-推論
• Abstract要約: 確率測度空間上の計量テンソルがシンクホーンの発散を近似することを示す。 また、バナッハ空間ODE理論の標準ツールを用いて測地線および平行輸送方程式の解を線形化する。 我々の知る限り、これらは標準幾何学的演算に対する最初の$sqrtn$-極限定理とブートストラップ一貫性の結果である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.1665689529884697
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The Sinkhorn divergence, a debiased form of entropic optimal transport, has been widely used in various scientific disciplines due to its computational and statistical tractability. Unlike the Wasserstein distance, however, the Sinkhorn divergence is not a metric and it does not naturally admit a formal Riemannian structure. These properties are central to many applications of optimal transport methods that utilize interpolation, barycentric averaging, parallel transport or other geometric operations. Recent work addresses these shortcomings by constructing a formal Riemannian tangent space and a metric tensor on the space of probability measures that quadratically approximates the Sinkhorn divergence. In this work, we extend this framework with two major threads of contributions. For a suitable class of finite-smoothness cost functions, we prove Hadamard differentiability of the Sinkhorn metric tensor and we derive the Levi-Civita covariant derivative in this geometry; we then use the covariant derivative to obtain the geodesic and parallel transport equations, each of which amount to an ODE on a fixed Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS) with smooth coefficients. Our second contribution is to linearize the solutions to the geodesic and parallel transport equations using standard tools from Banach space ODE theory. We show that under standard regularity conditions these linearizations imply $\sqrt{n}$-limiting Gaussian processes centered at population values for the plugin estimators of the exponential map, the logarithmic map, parallel transport and the induced Sinkhorn distance. Moreover, we show that the nonparametric bootstrap is consistent for all objects mentioned. To the best of our knowledge, these are the first $\sqrt{n}$--limit theorems and bootstrap consistency results for canonical geometric operations in a transport-based geometry on the space of probability measures.
• Abstract（参考訳）: エントロピー的最適輸送の偏りのある形であるシンクホーンの発散は、その計算的および統計的トラクタビリティのために、様々な科学分野に広く用いられている。 しかし、ワッサーシュタイン距離とは異なり、シンクホルン発散は計量ではなく、自然に形式的なリーマン構造を含まない。 これらの性質は、補間、偏心平均化、平行輸送、その他の幾何学的操作を利用する最適な輸送手法の多くの応用の中心である。 最近の研究は、正則リーマン接空間と、シンクホーン発散を二次的に近似する確率測度の空間上の計量テンソルを構築することによって、これらの欠点に対処している。 本研究では、このフレームワークを2つの主要なコントリビューションスレッドで拡張する。 有限滑らかなコスト関数のクラスに対して、シンクホーン計量テンソルのアダマール微分性を証明し、この幾何学においてレヴィ・チヴィタ共変微分を導出し、その共変微分を用いて測地線および平行輸送方程式を求め、それぞれが滑らかな係数を持つ固定再生ケルネルヒルベルト空間(RKHS)上のODEに等しい。 第二の貢献は、バナッハ空間ODE理論の標準ツールを用いて測地線と平行輸送方程式の解を線形化することである。 標準正則条件下では、これらの線形化は指数写像、対数写像、平行輸送および誘導シンクホーン距離のプラグイン推定器の集団値を中心とするガウス過程を暗示する。 さらに、非パラメトリックブートストラップは、前述のすべてのオブジェクトに一貫性があることが示される。 我々の知る限り、これらは確率測度の空間上の輸送ベース幾何学における標準幾何学的操作に対する最初の$\sqrt{n}$-極限定理とブートストラップ整合性の結果である。

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