論文の概要: Entropic regularization of Wasserstein distance between
infinite-dimensional Gaussian measures and Gaussian processes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2011.07489v3
- Date: Mon, 14 Mar 2022 10:28:59 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-09-25 07:14:47.590487
- Title: Entropic regularization of Wasserstein distance between
infinite-dimensional Gaussian measures and Gaussian processes
- Title（参考訳）: 無限次元ガウス測度とガウス過程の間のワッサーシュタイン距離のエントロピー正則化
- Authors: Minh Ha Quang
- Abstract要約: この研究は、無限次元ヒルベルト空間上の2-ワッサーシュタイン距離のエントロピー正則化の定式化を研究する。
無限次元の設定では、エントロピックな2-ワッサーシュタイン距離とシンクホーンの発散は、正確な2-ワッサースタイン距離とは対照的にFr'echet微分可能である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This work studies the entropic regularization formulation of the
2-Wasserstein distance on an infinite-dimensional Hilbert space, in particular
for the Gaussian setting. We first present the Minimum Mutual Information
property, namely the joint measures of two Gaussian measures on Hilbert space
with the smallest mutual information are joint Gaussian measures. This is the
infinite-dimensional generalization of the Maximum Entropy property of Gaussian
densities on Euclidean space. We then give closed form formulas for the optimal
entropic transport plan, entropic 2-Wasserstein distance, and Sinkhorn
divergence between two Gaussian measures on a Hilbert space, along with the
fixed point equations for the barycenter of a set of Gaussian measures. Our
formulations fully exploit the regularization aspect of the entropic
formulation and are valid both in singular and nonsingular settings. In the
infinite-dimensional setting, both the entropic 2-Wasserstein distance and
Sinkhorn divergence are Fr\'echet differentiable, in contrast to the exact
2-Wasserstein distance, which is not differentiable. Our Sinkhorn barycenter
equation is new and always has a unique solution. In contrast, the
finite-dimensional barycenter equation for the entropic 2-Wasserstein distance
fails to generalize to the Hilbert space setting. In the setting of reproducing
kernel Hilbert spaces (RKHS), our distance formulas are given explicitly in
terms of the corresponding kernel Gram matrices, providing an interpolation
between the kernel Maximum Mean Discrepancy (MMD) and the kernel 2-Wasserstein
distance.
- Abstract（参考訳）: 本研究は、無限次元ヒルベルト空間上の2-ワッサーシュタイン距離のエントロピー正則化の定式化、特にガウス集合について研究する。
まず、最小相互情報性(Minimum Mutual Information property)、すなわち、最小相互情報を持つヒルベルト空間上の二つのガウス測度の合同測度は、合同ガウス測度である。
これはユークリッド空間上のガウス密度の最大エントロピー性質の無限次元一般化である。
次に、最適エントロピー輸送計画、エントロピー2-ワッサーシュタイン距離、およびヒルベルト空間上の2つのガウス測度間のシンクホーン発散に対する閉形式公式と、一連のガウス測度のバリ中心に対する固定点方程式を与える。
本定式化はエントロピック定式化の正則化面を十分に活用し,特異および非特異な設定でも有効である。
無限次元の設定では、エントロピー 2-wasserstein 距離とシンクホーン分岐は、正確な 2-wasserstein 距離とは対照的に、fr\'echet 微分可能である。
我々のシンクホーン・バリセンター方程式は新しく、常に一意の解を持つ。
対照的に、エントロピー 2-ワッセルシュタイン距離の有限次元バリ中心方程式はヒルベルト空間設定に一般化できない。
再現カーネルヒルベルト空間(RKHS)の設定において、我々の距離公式は対応するカーネルグラム行列の項で明示的に与えられ、カーネル最大平均離散性(MMD)とカーネル2-ワッサーシュタイン距離の補間を提供する。
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