論文の概要: De Rham cohomological architectures for PINNs and PDEs with topological holes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2611.05276v1
• Date: Tue, 03 Nov 2026 17:57:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-11-07 13:16:40.67202
• Title: De Rham cohomological architectures for PINNs and PDEs with topological holes
• Title（参考訳）: 位相穴を持つPINNとPDEのためのデラムコホモロジーアーキテクチャ
• Abstract要約: 我々は、ニューラルネットワークの障害モードを軽減するために、デ・ラムコホモロジー拡張(Hodge-de Rham PINN)を導入する。 バニラPINNは、不連続なインターフェース、非ゼロ閉路統合、経路依存、正確な形式への対応などにより、ホールベースの設定の落とし穴にしばしば遭遇する。 我々はAharonov-Bohm効果の手法を実証するが、この手法はPINNの文献にはほとんど存在しない。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We attempt to alleviate failure modes of classical physics-informed neural networks (PINNs) in scenarios of topological pathologies corresponding to punctures, holes, poles, and voids by introducing de Rham cohomological augmentations, or Hodge-de Rham PINNs. Vanilla PINNs often encounter pitfalls in hole-based settings due to discontinuous interfaces, nonzero closed path integration, path dependence, correspondence to exact forms via the exterior derivative, etc., therefore we absolve traditional failures via parameterizing a 1-form by the Hodge-Morrey-Friedrichs (HMF) decomposition for manifolds with boundary, drawing a connection to de Rham cohomology such as through the HMF isomorphism theorem. 1-forms can act as representations of scalar-valued PDE solutions through integral operator mappings. We propose performing a PINN-based loss on the parameterized 1-form through an associated PDE, which subsequently solves the potential-based PINN problem and moreover remedies the failures of vanilla PINNs via the Sobolev-regular operator under a Fréchet differentiation interconnection. The operator relationship often has a nontrivial closed-form and often requires integration or a case-by-case analysis, which we address thoroughly in our experiments. When an integrability condition is not met on our losses, we can equip exhaustion functions to train the networks. We demonstrate our methods on the Aharonov-Bohm effect, which, to our understanding, is largely nonexistent in PINN literature. We develop theoretical guarantees of our methods and demonstrate our pathological safeguards on a broad selection of topologically-adverse problems, including scenarios of inexact forms, and those of nontrivial harmonics and coexact terms.
• Abstract（参考訳）: 古典物理学インフォームドニューラルネットワーク(PINN)の障害モードを,ド・ラムコホモロジー拡張(Hodge-de Rham PINN)を導入することにより,穴,穴,ポール,空洞に対応する位相病理のシナリオで緩和しようとする。 バニラ PINN は、不連続なインターフェース、非ゼロ閉経路積分、経路依存、外微分などによる正確な形式への対応などにより、しばしばホールベースの設定の落とし穴に遭遇するので、境界を持つ多様体に対するホッジ・モレー・フリードリッヒ分解(英語版)(HMF)により1-形式をパラメータ化することで従来の失敗を解消し、HMF同型定理(英語版)のようなデ・ラムコホモロジーと接続する。 1-形式は積分作用素写像を通してスカラー値のPDE解の表現として機能する。 パラメータ化された1-形式に対して,PDEを用いてPINNに基づく損失を発生させることを提案し,その結果,電位ベースPINNの問題を解くとともに,フレシェ微分相互接続の下でソボレフ正規演算子を介してバニラPINNの故障を修復する。 作用素関係はしばしば非自明な閉形式を持ち、積分やケース・バイ・ケース分析を必要とする。 我々の損失に対して積分可能性条件が満たされない場合、ネットワークをトレーニングするために排気関数を装備できる。 我々はAharonov-Bohm効果の手法を実証するが、この手法はPINNの文献にはほとんど存在しない。 我々は,提案手法の理論的保証を開発し,不定形のシナリオや非自明な調和項や共存項を含む,位相的逆問題の幅広い選択について,病理的安全を実証する。

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