論文の概要: The $E$, the $A$, the Dirac equation and the propagator
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/1801.08393v9
- Date: Tue, 3 Oct 2023 09:26:26 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-10-05 11:36:20.912416
- Title: The $E$, the $A$, the Dirac equation and the propagator
- Title（参考訳）: e$、a$、dirac方程式およびプロパゲータ
- Authors: Navin Khaneja
- Abstract要約: 電磁場の存在下でのディラック方程式は、ディラックスピノル、$psi$の方程式であり、$ihbar fracpartial psipartial t を満たす。
電磁場の存在下でのディラック方程式は、ディラックスピノル、$psi$の方程式であり、$ihbar fracpartial psipartial t を満たす。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Consider M\o{}ller scattering. Electrons with momentum $p$ and $-p$ scatter
by exchange of photon say in $z$ direction to $p+q$ and $-(p+q)$. The
scattering amplitude is well known, given as Feynmann propogator $ M = \frac{(e
\hbar c)^2}{\epsilon_0 V} \frac{\bar{u}(p+q) \gamma^{\mu} u(p) \
\bar{u}(-(p+q)) \gamma_{\mu} u(-p)}{q^2}$, where $V$ is the volume of the
scattering electrons, $e$ elementary charge and $\epsilon_0$ permitivity of
vacuum. But this is not completely correct. Since we exchange photon momentum
in $z$ direction, we have two photon polarization $x,y$ and hence the true
scattering amplitude should be $$ M_1 = \frac{(e \hbar c)^2}{\epsilon_0 V}
\frac{ \bar{u}(p+q) \gamma^{x} u(p) \ \bar{u}(-(p+q)) \gamma_{x} u(-p)\ \ +
\bar{u}(p+q) \gamma^{y} u(p) \ \bar{u}(-(p+q)) \gamma_{y} u(-p) \ }{q^2}. $$
But when electrons are nonrelativistic, $M_1 \sim 0$. This is disturbing, how
will we ever get the coulomb potential, where $M \sim \frac{(e \hbar
c)^2}{\epsilon_0 V q^2}$. Where is the problem ? The problem is with the Dirac
equation, it is not all correct in presence of electromagnetic field. We say
that Dirac equation in the presence of electromagnetic field is equation of
Dirac spinor, $\psi$, satisfying $i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = H
\psi$, where, $$H = (-i\hbar c \partial_j - e A_j)\alpha_j + e A_0 + mc^2
\beta, $$ where $\alpha_j , \beta$ are Dirac matrices and $A$ vector potential.
But there is more to it. The true $$H = (-i\hbar c \partial_j - e A_j)\alpha_j
+ e A_0 + e E \cdot x + mc^2 \beta, $$ where $E$ is electric field. Its Lorentz
invariant form is $$ H = -i\hbar c \partial_j \alpha_j - \frac{e}{2}
\int_0^{x^{\mu}}F_{\mu \nu} d x^{\mu} \alpha^{\nu} + mc^2 \beta, $$ where
$\alpha^0 = \mathbf{1}$. It is this $E$ term that gives non-vanishing
propagator.
- Abstract（参考訳）: M\o{}ller 散乱を考える。
光子の交換による運動量$p$と$-p$散乱を持つ電子は、$z$方向に$p+q$と$-(p+q)$に等しい。
散乱振幅はよく知られており、Feynmann propogator $ M = \frac{(e \hbar c)^2}{\epsilon_0 V} \frac {\bar{u}(p+q) \gamma^{\mu} u(p) \ \bar{u}(-(p+q)) \gamma_{\mu} u(-p)}{q^2}$である。
しかし、これは完全には正しくない。
z$方向に光子モーメントを交換するため、2つの光子分極$x,y$を持つので、真の散乱振幅は$$M_1 = \frac{(e \hbar c)^2}{\epsilon_0 V} \frac{ \bar{u}(p+q) \gamma^{x} u(p) \bar{u}(-(p+q)) \gamma_{x} u(-p)\ \ + \bar{u}(p+q) \gamma^{y} u(p) \bar{u}(-(p+q)) \gamma_{y} u(p) \gamma_{y} u(-p) \}{q^2} となる。
しかし、電子が非相対論的であれば、$M_1 \sim 0$である。
ここでは$M \sim \frac{(e \hbar c)^2}{\epsilon_0 V q^2}$である。
どこが問題なの?
問題はディラック方程式であり、電磁場の存在下では必ずしも正しいわけではない。
電磁場の存在下でのディラック方程式はディラックスピノル、$\psi$の方程式であり、$i\hbar \frac {\partial \psi}{\partial t} = H \psi$, where, $$H = (-i\hbar c \partial_j - e A_j)\alpha_j + e A_0 + mc^2 \beta, $$$\alpha_j, \beta$はディラック行列、$A$ベクトルポテンシャルを満たす。
しかし、他にもある。
真の$H = (-i\hbar c \partial_j - e A_j)\alpha_j + e A_0 + e E \cdot x + mc^2 \beta, $$E$は電場である。
そのローレンツ不変形式は$ H = -i\hbar c \partial_j \alpha_j - \frac{e}{2} \int_0^{x^{\mu}}F_{\mu \nu} d x^{\mu} \alpha^{\nu} + mc^2 \beta, $$$である。
ノンバニッシュプロパゲーター(non-vanishing propagator)を提供するのはこの$e$の用語です。
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