論文の概要: Time-reversible and norm-conserving high-order integrators for the nonlinear time-dependent Schr\"{o}dinger equation: Application to local control theory

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2006.16902v3
• Date: Tue, 6 Apr 2021 09:14:47 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-05-12 01:16:03.695513
• Title: Time-reversible and norm-conserving high-order integrators for the nonlinear time-dependent Schr\"{o}dinger equation: Application to local control theory
• Title（参考訳）: 非線形時間依存schr\"{o}dinger方程式に対する可逆かつノルム保存高次積分器:局所制御理論への応用
• Authors: Julien Roulet, Ji\v{r}\'i Van\'i\v{c}ek
• Abstract要約: 一般時間依存型非線形シュリンガー方程式に好適な高次幾何について述べる。 これらの構成は対称的中点暗黙法に基づいており、ノルム保存と時間可逆の両方である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The explicit split-operator algorithm has been extensively used for solving not only linear but also nonlinear time-dependent Schr\"{o}dinger equations. When applied to the nonlinear Gross-Pitaevskii equation, the method remains time-reversible, norm-conserving, and retains its second-order accuracy in the time step. However, this algorithm is not suitable for all types of nonlinear Schr\"{o}dinger equations. Indeed, we demonstrate that local control theory, a technique for the quantum control of a molecular state, translates into a nonlinear Schr\"{o}dinger equation with a more general nonlinearity, for which the explicit split-operator algorithm loses time reversibility and efficiency (because it has only first-order accuracy). Similarly, the trapezoidal rule (the Crank-Nicolson method), while time-reversible, does not conserve the norm of the state propagated by a nonlinear Schr\"{o}dinger equation. To overcome these issues, we present high-order geometric integrators suitable for general time-dependent nonlinear Schr\"{o}dinger equations and also applicable to nonseparable Hamiltonians. These integrators, based on the symmetric compositions of the implicit midpoint method, are both norm-conserving and time-reversible. The geometric properties of the integrators are proven analytically and demonstrated numerically on the local control of a two-dimensional model of retinal. For highly accurate calculations, the higher-order integrators are more efficient. For example, for a wavefunction error of $10^{-9}$, using the eighth-order algorithm yields a $48$-fold speedup over the second-order implicit midpoint method and trapezoidal rule, and $400000$-fold speedup over the explicit split-operator algorithm.
• Abstract（参考訳）: 明示的なスプリット演算子アルゴリズムは線形だけでなく非線形時間依存のschr\"{o}dinger方程式の解法にも広く用いられている。 非線形グロス・ピタエフスキー方程式に適用した場合、この方法は時間的に可逆であり、ノルム保存であり、その2階精度を時間ステップで保持する。 しかし、このアルゴリズムは全ての種類の非線形Schr\"{o}dinger方程式には適していない。 実際、分子状態の量子制御のためのテクニックである局所制御理論は、より一般的な非線形性を持つ非線形schr\"{o}dinger方程式に変換され、明示的な分割演算子アルゴリズムは時間反転性と効率を失う(一階精度しか持たない)。 同様に、trapezoidal rule (crank-nicolson method) は可逆であるが、非線形のschr\"{o}dinger方程式によって伝播される状態のノルムを保存しない。 これらの問題を克服するために、一般時間依存の非線形シュルンディンガー方程式に適した高次幾何積分器を提案し、また非分離ハミルトニアンにも適用する。 これらの積分器は、暗黙の中間点法(英語版)の対称な構成に基づいており、ノルム保存と時間可逆である。 積分器の幾何学的性質は解析的に証明され、2次元網膜モデルの局所的な制御について数値的に実証される。 高精度な計算では、高階積分器はより効率的である。 例えば、波動関数の誤差が10^{-9}$の場合、8階のアルゴリズムを使用すると、2階の暗黙中点法と台形の法則よりも48$-foldのスピードアップ、明示的なスプリット演算アルゴリズムよりも400000$-foldのスピードアップが得られる。

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