論文の概要: Solving non-linear Kolmogorov equations in large dimensions by using deep learning: a numerical comparison of discretization schemes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2012.07747v2
• Date: Mon, 28 Dec 2020 13:41:35 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-05-16 01:46:03.500203
• Title: Solving non-linear Kolmogorov equations in large dimensions by using deep learning: a numerical comparison of discretization schemes
• Title（参考訳）: ディープラーニングを用いた非線形コルモゴロフ方程式の大次元解法:離散化スキームの数値比較
• Authors: Nicolas Macris and Raffaele Marino
• Abstract要約: 非線形偏微分コルモゴロフ方程式は、幅広い時間依存現象を記述するのに有効である。 深層学習は、これらの方程式を高次元で解くために導入された。 本研究では, 観測された計算の複雑性に影響を与えることなく, 精度の向上が可能であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 16.067228939231047
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Non-linear partial differential Kolmogorov equations are successfully used to describe a wide range of time dependent phenomena, in natural sciences, engineering or even finance. For example, in physical systems, the Allen-Cahn equation describes pattern formation associated to phase transitions. In finance, instead, the Black-Scholes equation describes the evolution of the price of derivative investment instruments. Such modern applications often require to solve these equations in high-dimensional regimes in which classical approaches are ineffective. Recently, an interesting new approach based on deep learning has been introduced by E, Han, and Jentzen [1][2]. The main idea is to construct a deep network which is trained from the samples of discrete stochastic differential equations underlying Kolmogorov's equation. The network is able to approximate, numerically at least, the solutions of the Kolmogorov equation with polynomial complexity in whole spatial domains. In this contribution we study variants of the deep networks by using different discretizations schemes of the stochastic differential equation. We compare the performance of the associated networks, on benchmarked examples, and show that, for some discretization schemes, improvements in the accuracy are possible without affecting the observed computational complexity.
• Abstract（参考訳）: 非線形偏微分コルモゴロフ方程式は、自然科学、工学、あるいはファイナンスにおいて、幅広い時間依存現象を記述するのに有用である。 例えば、物理系では、アレン・カーン方程式は相転移に関連するパターン形成を記述する。 金融学において、ブラック・スコレス方程式は、派生投資器の価格の進化を記述する。 このような現代的な応用は、古典的アプローチが有効でない高次元のレジームにおいてこれらの方程式を解く必要がある。 近年,E,Han,Jentzen [1][2]により,ディープラーニングに基づく興味深い新しいアプローチが導入された。 主なアイデアは、コルモゴロフ方程式の基礎となる離散確率微分方程式のサンプルから訓練された深いネットワークを構築することである。 このネットワークは、少なくとも空間領域全体の多項式複雑性を持つコルモゴロフ方程式の解を近似することができる。 このコントリビューションでは、確率微分方程式の異なる離散化スキームを用いてディープネットワークの変種を研究する。 ベンチマークの例を用いて,関連するネットワークの性能を比較することで,計算複雑性に影響を与えずに精度を向上させることができることを示す。

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