論文の概要: Subspace Controllability and Clebsch-Gordan Decomposition of Symmetric
Quantum Networks
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.12908v1
- Date: Mon, 24 Jul 2023 16:06:01 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-07-25 13:45:22.523094
- Title: Subspace Controllability and Clebsch-Gordan Decomposition of Symmetric
Quantum Networks
- Title（参考訳）: 対称量子ネットワークのサブスペース制御性とクレブシュ・ゴルダン分解
- Authors: Domenico D'Alessandro
- Abstract要約: 任意の次元$d$, it quditsの量子系のネットワークの可制御性解析のためのフレームワークについて述べる。
対称性のため、基礎となるヒルベルト空間である$cal H=(mathbbCd)otimes n$ は$S_n$-不変元を$u(dn)$ のリー代数の不変部分空間に分割し、ここで$uS_n(dn)$ と表記する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We describe a framework for the controllability analysis of networks of $n$
quantum systems of an arbitrary dimension $d$, {\it qudits}, with dynamics
determined by Hamiltonians that are invariant under the permutation group
$S_n$. Because of the symmetry, the underlying Hilbert space, ${\cal
H}=(\mathbb{C}^d)^{\otimes n}$, splits into invariant subspaces for the Lie
algebra of $S_n$-invariant elements in $u(d^n)$, denoted here by
$u^{S_n}(d^n)$. The dynamical Lie algebra ${\cal L}$, which determines the
controllability properties of the system, is a Lie subalgebra of such a Lie
algebra $u^{S_n}(d^n)$. If ${\cal L}$ acts as $su\left( \dim(V) \right)$ on
each of the invariant subspaces $V$, the system is called {\it subspace
controllable}. Our approach is based on recognizing that such a splitting of
the Hilbert space ${\cal H}$ coincides with the {\it Clebsch-Gordan} splitting
of $(\mathbb{C}^d)^{\otimes n}$ into {\it irreducible representations} of
$su(d)$. In this view, $u^{S_n}(d^n)$, is the direct sum of certain $su(n_j)$
for some $n_j$'s we shall specify, and its {\it center} which is the Abelian
(Lie) algebra generated by the {\it Casimir operators}. Generalizing the
situation previously considered in the literature, we consider dynamics with
arbitrary local simultaneous control on the qudits and a symmetric two body
interaction. Most of the results presented are for general $n$ and $d$ but we
recast previous results on $n$ qubits in this new general framework and provide
a complete treatment and proof of subspace controllability for the new case of
$n=3$, $d=3$, that is, {\it three qutrits}.
- Abstract（参考訳）: 我々は、任意の次元 $d$, {\displaystyle qudits} の量子ネットワークの制御可能性解析の枠組みを記述し、置換群 $s_n$ の下で不変なハミルトニアンによって決定される力学について述べる。
対称性のため、基礎となるヒルベルト空間 ${\cal h}=(\mathbb{c}^d)^{\otimes n}$ は、ここで $u^{s_n}(d^n)$ と表記される$u(d^n)$ における $s_n$-不変要素のリー代数の不変部分空間に分解される。
系の可制御性性を決定する力学的リー代数 ${\cal L}$ は、そのようなリー代数 $u^{S_n}(d^n)$ のリー部分代数である。
もし${\cal l}$ が各不変部分空間 $v$ に対して$su\left( \dim(v) \right)$ として作用すると、システムは {\it subspace controllable} と呼ばれる。
我々のアプローチは、ヒルベルト空間 ${\cal H}$ のそのような分割は、$(\mathbb{C}^d)^{\otimes n}$ を $su(d)$ の既約表現に分割する {\it Clebsch-Gordan} と一致すると認識することに基づいている。
この見方では、$u^{s_n}(d^n)$ は我々が指定するいくつかの$n_j$' に対してある$su(n_j)$ の直和であり、その {\it center} は {\it casimir operator} によって生成されるアーベル(lie)代数である。
文献で以前に検討した状況を一般化し,quditsの任意の局所的同時制御と対称な2体相互作用によるダイナミクスを考える。
提示された結果の多くは、一般的な$n$と$d$だが、この新しい一般フレームワークの$n$ qubitsで以前の結果を再放送し、新しい場合の$n=3$、$d=3$、すなわち、三つのqutritsの完全な処理と部分空間制御可能性の証明を提供する。
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