論文の概要: DeepGreen: Deep Learning of Green's Functions for Nonlinear Boundary Value Problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2101.07206v1
• Date: Thu, 31 Dec 2020 21:31:56 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-04-17 18:39:55.961999
• Title: DeepGreen: Deep Learning of Green's Functions for Nonlinear Boundary Value Problems
• Title（参考訳）: DeepGreen: 非線形境界値問題に対するグリーン関数のディープラーニング
• Authors: Craig R. Gin, Daniel E. Shea, Steven L. Brunton, J. Nathan Kutz
• Abstract要約: 境界値問題(BVP)は、外部力の制約された物理的システムの数学的解析において中心的な役割を果たす。 デュアルオートエンコーダアーキテクチャを用いて非線形BVPを解くための柔軟な深層学習手法を提案する。 この手法は非線形ヘルムホルツ問題やストゥルム・リオウヴィル問題、非線形弾性、および2次元非線形ポアソン方程式を含む様々な非線形系において有効である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.5889588665122725
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Boundary value problems (BVPs) play a central role in the mathematical analysis of constrained physical systems subjected to external forces. Consequently, BVPs frequently emerge in nearly every engineering discipline and span problem domains including fluid mechanics, electromagnetics, quantum mechanics, and elasticity. The fundamental solution, or Green's function, is a leading method for solving linear BVPs that enables facile computation of new solutions to systems under any external forcing. However, fundamental Green's function solutions for nonlinear BVPs are not feasible since linear superposition no longer holds. In this work, we propose a flexible deep learning approach to solve nonlinear BVPs using a dual-autoencoder architecture. The autoencoders discover an invertible coordinate transform that linearizes the nonlinear BVP and identifies both a linear operator $L$ and Green's function $G$ which can be used to solve new nonlinear BVPs. We find that the method succeeds on a variety of nonlinear systems including nonlinear Helmholtz and Sturm--Liouville problems, nonlinear elasticity, and a 2D nonlinear Poisson equation. The method merges the strengths of the universal approximation capabilities of deep learning with the physics knowledge of Green's functions to yield a flexible tool for identifying fundamental solutions to a variety of nonlinear systems.
• Abstract（参考訳）: 境界値問題(BVP)は、外部力の制約された物理的システムの数学的解析において中心的な役割を果たす。 その結果、bvpは、流体力学、電磁力学、量子力学、弾性など、ほぼ全ての工学分野に出現し、問題領域にまたがる。 基本解であるグリーン関数(green's function)は、外部強制下でシステムに対する新しい解のファシリな計算を可能にする線形bvpを解くための主要な方法である。 しかし、非線形BVPに対する基本的なグリーン関数解は、線型重ね合わせがもはや成り立たないので実現不可能である。 本研究では,デュアルオートエンコーダアーキテクチャを用いて非線形BVPを解くための柔軟な深層学習手法を提案する。 自己エンコーダは、非線形BVPを線型化し、線型作用素 $L$ と Green の関数 $G$ の両方を識別する可逆座標変換を発見する。 この手法は非線形ヘルムホルツ問題やストゥルム・リオウヴィル問題、非線形弾性、および2次元非線形ポアソン方程式を含む様々な非線形系において有効である。 この手法は、深層学習の普遍近似能力とグリーン関数の物理知識の強みを融合し、様々な非線形システムに対する基本的な解を識別するための柔軟なツールとなる。

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