論文の概要: Group theory and the link between expectation values of powers of $r$
and Clebsch-Gordan coefficients
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2101.07872v1
- Date: Tue, 19 Jan 2021 21:48:16 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-14 17:54:58.214339
- Title: Group theory and the link between expectation values of powers of $r$
and Clebsch-Gordan coefficients
- Title（参考訳）: 群論と$r$のパワーの期待値とクレブシュ=ゴルダン係数の関係
- Authors: Jean-Christophe Pain
- Abstract要約: 我々は、$r$のパワーの期待値とクレブシュ=ゴルダン係数の関連について論じる。
ウィグナー・エッカート定理はこの群に対して有効である。
対応するクレブシュ=ゴルダン係数は通常の$SO(3)$クレブシュ=ゴルダン係数に比例する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In a recent paper [J.-C. Pain, Opt. Spectrosc. ${\bf 218}$, 1105-1109
(2020)], we discussed the link between expectation values of powers of $r$ and
Clebsch-Gordan coefficients. In this short note we provide additional
information, reminding that such a connection is a direct consequence of group
theory. The hydrogenic radial wavefunctions form bases for infinite dimensional
representations of the algebra of the non-compact group $O(2,1)$ and the
expectation values $r^p$ and $r^{-p}$ ($p$ being positive) transform as tensors
with respect to this algebra. As shown a long time ago by Armstrong [L.
Armstrong Jr., J . Phys. (Paris) Suppl. C 4 ${\bf 31}$, 17 (1970)], analysis of
matrix elements of $r^p$ and $r^{-p}$ reveals that the Wigner-Eckart theorem is
valid for this group and that the corresponding Clebsch-Gordan coefficients are
proportional to the usual $SO(3)$ Clebsch-Gordan coefficients. This
proportionality provides simple explanations of the selection rules for
hydrogenic radial matrix elements pointed out by Pasternack and Sternheimer,
and the proportionality of hydrogenic expectation values of $r^p$ and $r^{-p}$
to $3jm$ symbols.
- Abstract（参考訳）: 最近の論文 [j] では
-C。
痛み、オプト。
spectrosc所属。
${\bf 218}$, 1105-1109 (2020)] では、$r$のパワーの期待値とクレブシュ=ゴルダン係数の関連性について議論した。
本項では、そのような接続が群論の直接的な帰結であることを思い出させる追加情報を提供する。
水素のラジアル波動関数は、非コンパクト群 $O(2,1)$ の代数の無限次元表現と期待値 $r^p$ と $r^{-p}$$ (p$ be positive) をテンソルとして生成する。
昔アームストロング[L]が示したように.
アームストロング・ジュニア、j.。
Phys
(パリ)
Suppl
c 4 ${\bf 31}$, 17 (1970)], $r^p$ と $r^{-p}$ の行列要素の解析により、ウィグナー・エッカート定理がこの群に対して有効であること、対応するクレブシュ・ゴルダン係数が通常の $so(3)$ clebsch-gordan 係数に比例していることが分かる。
この比例性は、pasternack と sternheimer によって指摘された水素系放射状行列要素の選択規則と、r^p$ と $r^{-p}$から 3jm$ の水素系期待値の比例性の簡単な説明を与える。
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