論文の概要: Distributive Laws, Spans and the ZX-Calculus
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2102.04386v3
- Date: Sat, 13 Mar 2021 00:32:42 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-12 05:27:25.254652
- Title: Distributive Laws, Spans and the ZX-Calculus
- Title（参考訳）: 分配則、スパンおよびzx計算
- Authors: Cole Comfort
- Abstract要約: モジュラーに新しいジェネレータとリレーションを追加することで、より大きなZX計算の断片をモジュラーに構築する。
これは、Zanasiのプッシュアウトキューブの技法と同様に、分配法則によって小道具を組み立てるラックの技法を用いて行われる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We modularly build increasingly larger fragments of the ZX-calculus by
modularly adding new generators and relations, at each point, giving some
concrete semantics in terms of some category of spans. This is performed using
Lack's technique of composing props via distributive laws, as well as the
technique of pushout cubes of Zanasi. We do this for the fragment of the
ZX-calculus with only the black $\pi$-phase (and no Hadamard gate) as well as
well as the fragment which additionally has the and gate as a generator (which
is equivalent to the natural number H-box fragment of the ZH-calculus). In the
former case, we show that this is equivalent to the full subcategory of spans
of (possibly empty) free, finite dimensional affine $\mathbb F_2$-vector
spaces, where the objects are the non-empty affine vector spaces. In the latter
case, we show that this is equivalent to the full subcategory of spans of
finite sets where the objects are powers of the two element set. Because these
fragments of the ZX-calculus have semantics in terms of full subcategories of
categories of spans, they can not be presented by distributive laws over
groupoids. Instead, we first construct their subcategories of partial
isomorphisms via distributive laws over all isomorphims with subobjects
adjoined. After which, the full subcategory of spans are obtained by freely
adjoining units and counits the the semi-Frobenius structures given by the
diagonal and codiagonal maps.
- Abstract（参考訳）: 新しい生成元と関係をモジュール的に加えることで、zx-計算のより大きい断片をモジュール的に構築し、スパンのカテゴリの具体的な意味論を与えます。
これは、分配則による小道具の合成技術や、ザナシの押出立方体の技法を用いて行われる。
このことは、黒の$\pi$-phase(およびアダマール門なし)と、生成子としてゲートとを持つ断片(ZH-calculusの自然数 H-box フラグメントと等価である)と共に、ZX-calculus の断片に対して行う。
前者の場合、これは(おそらく空である)自由で有限次元のアフィン$\mathbb F_2$-ベクトル空間のスパンの完全な部分圏と同値であり、対象は空でないアフィンベクトル空間である。
後者の場合、これは対象が2つの元集合のパワーである有限集合のスパンの全部分圏と等価であることを示す。
これらのzx-計算の断片は、スパンのカテゴリの完全なサブカテゴリの意味で意味論を持つので、群体上の分配則によっては表現できない。
その代わり、我々はまず、部分同型のサブカテゴリを、付随する部分対象を持つすべての同型に関する分配則を通して構成する。
その後、単位を随伴し、対角写像と対角写像によって与えられる半フロベニウス構造を結合することにより、スパンの完全なサブカテゴリを得る。
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