論文の概要: Unitarization Through Approximate Basis
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2104.00785v2
- Date: Mon, 13 Sep 2021 22:45:21 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-05 22:02:42.251133
- Title: Unitarization Through Approximate Basis
- Title（参考訳）: 近似基底によるユニタリゼーション
- Authors: Joshua Cook
- Abstract要約: ユニタリゼーションは、全ての$0$状態から量子状態を生成する$k$入力回路を取る問題である。
以下のパラメータの時間に近似した基底を求める。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We introduce the problem of unitarization. Unitarization is the problem of
taking $k$ input quantum circuits that produce orthogonal states from the all
$0$ state, and create an output circuit implementing a unitary with its first
$k$ columns as those states. That is, the output circuit takes the $k$th
computational basis state to the state prepared by the $k$th input circuit. We
allow the output circuit to use ancilla qubits initialized to $0$. But ancilla
qubits must always be returned to $0$ for any input. The input circuits may use
ancilla qubits, but we are only guaranteed the they return ancilla qubits to
$0$ on the all $0$ input.
The unitarization problem seems hard if the output states are neither
orthogonal to or in the span of the computational basis states that need to map
to them. In this work, we approximately solve this problem in the case where
input circuits are given as black box oracles by probably finding an
approximate basis for our states. This method may be more interesting than the
application. This technique is a sort of quantum analogue of Gram-Schmidt
orthogonalization for quantum states.
Specifically, we find an approximate basis in polynomial time for the
following parameters. Take any natural $n$, $k =
O\left(\frac{\ln(n)}{\ln(\ln(n))}\right)$, and $\epsilon =
2^{-O(\sqrt{\ln(n)})}$. Take any $k$ input quantum states, $(|\psi_i
\rangle)_{i\in [k]}$, on polynomial in $n$ qubits prepared by quantum oracles,
$(V_i)_{i \in [k]}$ (that we can control call and control invert). Then there
is a quantum circuit with polynomial size in $n$ with access to the oracles
$(V_i)_{i \in [k]}$ that with at least $1 - \epsilon$ probability, computes at
most $k$ circuits with size polynomial in $n$ and oracle access to $(V_i)_{i
\in [k]}$ that $\epsilon$ approximately computes an $\epsilon$ approximate
orthonormal basis for $(|\psi_i \rangle)_{i\in [k]}$.
- Abstract（参考訳）: 我々はユニタリゼーションの問題を紹介する。
ユニタリゼーションは、全ての$0$状態から直交状態を生成する$k$入力量子回路を取り、それらの状態として最初の$k$列を持つユニタリを実装する出力回路を作成するという問題である。
すなわち、出力回路は、$k$th入力回路によって作成された状態に$k$th計算基底状態を取る。
出力回路は、初期化されたancilla qubitsを$0$に使用できるようにする。
しかし、ancilla qubitsはあらゆる入力に対して常に$0$に返さなければならない。
入力回路はancilla qubitsを使用するかもしれないが、すべての$0$入力に対してancilla qubitsを$0$に返せばよい。
ユニタリ化問題は、出力状態が計算基底状態の直交的でない場合や、それらにマップする必要がある場合、難しいように思われる。
本研究では、入力回路がブラックボックスオラクルとして与えられる場合、おそらく我々の状態の近似基底を見つけることで、この問題を概ね解決する。
この方法はアプリケーションよりも興味深いかもしれない。
この手法は、グラムシュミットの量子状態の直交化の量子アナログの一種である。
具体的には、以下のパラメータに対する多項式時間の近似基底を求める。
任意の自然な$n$, $k = O\left(\frac{\ln(n)}{\ln(\ln(n))}\right)$, and $\epsilon = 2^{-O(\sqrt{\ln(n)}$を取る。
任意の$k$入力量子状態、$(|\psi_i \rangle)_{i\in [k]}$、量子オラクルで作られる$n$量子ビットの多項式、$(V_i)_{i \in [k]}$(呼び出しを制御し、反転を制御することができる)
すると、$n$ の多項式サイズを持つ量子回路が存在して、少なくとも 1 - \epsilon$ の確率で、$n$ の大きさ多項式を持つ少なくとも $k$ の回路を計算し、$(V_i)_{i \in [k]} のオラクルアクセスを$(V_i)_{i \in [k]} の量子回路は、$(|\psi_i \rangle)_{i\in [k]} の近似正則基底をおよそ$\epsilon$ の計算を行う。
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