論文の概要: A class of dimensionality-free metrics for the convergence of empirical
measures
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2104.12036v1
- Date: Sat, 24 Apr 2021 23:27:40 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-04-28 12:09:20.929244
- Title: A class of dimensionality-free metrics for the convergence of empirical
measures
- Title（参考訳）: 経験的測度の収束のための次元自由測度の一クラス
- Authors: Jiequn Han, Ruimeng Hu, Jihao Long
- Abstract要約: 提案手法では,高次元における経験的尺度の収束が,次元性の呪い(CoD)を伴わないことを示す。
提案手法は,テスト関数空間を選択するための特定の基準を提案することで一般化した,最大平均偏差に由来する。
提案されたメトリクスのクラスは、CoDなしで高次元での経験的測定の収束を分析する強力なツールであることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6445605125467573
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: This paper concerns the convergence of empirical measures in high dimensions.
We propose a new class of metrics and show that under such metrics, the
convergence is free of the curse of dimensionality (CoD). Such a feature is
critical for high-dimensional analysis and stands in contrast to classical
metrics ({\it e.g.}, the Wasserstein distance). The proposed metrics originate
from the maximum mean discrepancy, which we generalize by proposing specific
criteria for selecting test function spaces to guarantee the property of being
free of CoD. Therefore, we call this class of metrics the generalized maximum
mean discrepancy (GMMD). Examples of the selected test function spaces include
the reproducing kernel Hilbert space, Barron space, and flow-induced function
spaces. Three applications of the proposed metrics are presented: 1. The
convergence of empirical measure in the case of random variables; 2. The
convergence of $n$-particle system to the solution to McKean-Vlasov stochastic
differential equation; 3. The construction of an $\varepsilon$-Nash equilibrium
for a homogeneous $n$-player game by its mean-field limit. As a byproduct, we
prove that, given a distribution close to the target distribution measured by
GMMD and a certain representation of the target distribution, we can generate a
distribution close to the target one in terms of the Wasserstein distance and
relative entropy. Overall, we show that the proposed class of metrics is a
powerful tool to analyze the convergence of empirical measures in high
dimensions without CoD.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,高次元における経験的測度の収束について述べる。
我々は,新しい尺度のクラスを提案し,そのような尺度の下では,収束が次元性の呪い(CoD)を伴わないことを示す。
このような特徴は高次元解析において重要であり、古典的メトリクスとは対照的である(例)。
は、ワッサーシュタイン距離(Wasserstein distance)。
提案手法は,テスト関数空間を選択するための特定の基準を提案して,CoDを含まない性質を保証することで,平均誤差の最大値から導かれる。
したがって、このメトリクスのクラスを一般化された最大平均差(gmmd)と呼ぶ。
選択されたテスト関数空間の例としては、再生核ヒルベルト空間、バロン空間、フロー誘起関数空間がある。
提案したメトリクスの3つの応用例を示す。
確率変数の場合の経験的測度の収束; 2。
n$粒子系のmckean-vlasov確率微分方程式解への収束; 3。
平均場極限による同質な$n$-playerゲームに対する$\varepsilon$-Nash平衡の構成。
副産物として、gmmdで測定された目標分布に近い分布と目標分布の特定の表現が与えられたとき、ワッサースタイン距離と相対エントロピーの観点で目標分布に近い分布を生成できることを証明する。
全体として,提案するメトリクスクラスは,codを使わずに高次元での経験的測度の収束を分析する強力なツールであることを示す。
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