論文の概要: A Class of Dimension-free Metrics for the Convergence of Empirical
Measures
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2104.12036v4
- Date: Sat, 16 Sep 2023 22:08:35 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-09-20 02:31:20.515018
- Title: A Class of Dimension-free Metrics for the Convergence of Empirical
Measures
- Title（参考訳）: 経験的測度の収束のための次元自由測度の一クラス
- Authors: Jiequn Han, Ruimeng Hu, Jihao Long
- Abstract要約: 提案手法では,高次元における経験的尺度の収束が,次元性の呪い(CoD)を伴わないことを示す。
選択されたテスト函数空間の例としては、ヒルベルト空間、バロン空間、フロー誘起函数空間などがある。
提案手法は,CoDを使わずに高次元における経験的尺度の収束を解析するための強力なツールであることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.253771639590562
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: This paper concerns the convergence of empirical measures in high dimensions.
We propose a new class of probability metrics and show that under such metrics,
the convergence is free of the curse of dimensionality (CoD). Such a feature is
critical for high-dimensional analysis and stands in contrast to classical
metrics ({\it e.g.}, the Wasserstein metric). The proposed metrics fall into
the category of integral probability metrics, for which we specify criteria of
test function spaces to guarantee the property of being free of CoD. Examples
of the selected test function spaces include the reproducing kernel Hilbert
spaces, Barron space, and flow-induced function spaces. Three applications of
the proposed metrics are presented: 1. The convergence of empirical measure in
the case of random variables; 2. The convergence of $n$-particle system to the
solution to McKean-Vlasov stochastic differential equation; 3. The construction
of an $\varepsilon$-Nash equilibrium for a homogeneous $n$-player game by its
mean-field limit. As a byproduct, we prove that, given a distribution close to
the target distribution measured by our metric and a certain representation of
the target distribution, we can generate a distribution close to the target one
in terms of the Wasserstein metric and relative entropy. Overall, we show that
the proposed class of metrics is a powerful tool to analyze the convergence of
empirical measures in high dimensions without CoD.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,高次元における経験的測度の収束について述べる。
我々は,新しい確率尺度のクラスを提案し,そのような測定値の下では,収束が次元性の呪い(CoD)を伴わないことを示す。
そのような特徴は高次元解析において重要であり、古典的計量(例えば、ワッサーシュタイン計量)とは対照的である。
提案手法は,cod を含まない特性を保証するためにテスト関数空間の基準を定式化する積分確率メトリクスのカテゴリに分類される。
選択されたテスト関数空間の例としては、再生核ヒルベルト空間、バロン空間、フロー誘起関数空間がある。
提案手法の3つの応用例を示す。
1. 確率変数の場合における経験的尺度の収束
2.McKean-Vlasov確率微分方程式の解への$n$-粒子系の収束
3. 平均場極限による同質な$n$-playerゲームに対する$\varepsilon$-Nash平衡の構成。
副生成物として、我々の計量によって測定された対象分布に近い分布と対象分布の特定の表現が与えられた場合、ワッサーシュタイン計量と相対エントロピーの観点から対象分布に近い分布を生成できることを証明した。
全体として,提案するメトリクスクラスは,codを使わずに高次元での経験的測度の収束を分析する強力なツールであることを示す。
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