論文の概要: Error Bounds for Physics-Informed Neural Networks in Fokker-Planck PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.22371v2
• Date: Mon, 03 Mar 2025 16:16:00 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-04 17:04:19.531783
• Title: Error Bounds for Physics-Informed Neural Networks in Fokker-Planck PDEs
• Title（参考訳）: フォッカープランクPDEにおける物理インフォームドニューラルネットワークの誤差境界
• Authors: Chun-Wei Kong, Luca Laurenti, Jay McMahon, Morteza Lahijanian,
• Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は,確率密度関数を近似するために訓練可能であることを示す (PDF)。 我々の主な貢献はPINN近似誤差の解析である。 標準的なトレーニング手法で効率的に構築できる実用的なエラー境界を導出する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.729744197698718
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Stochastic differential equations are commonly used to describe the evolution of stochastic processes. The state uncertainty of such processes is best represented by the probability density function (PDF), whose evolution is governed by the Fokker-Planck partial differential equation (FP-PDE). However, it is generally infeasible to solve the FP-PDE in closed form. In this work, we show that physics-informed neural networks (PINNs) can be trained to approximate the solution PDF. Our main contribution is the analysis of PINN approximation error: we develop a theoretical framework to construct tight error bounds using PINNs. In addition, we derive a practical error bound that can be efficiently constructed with standard training methods. We discuss that this error-bound framework generalizes to approximate solutions of other linear PDEs. Empirical results on nonlinear, high-dimensional, and chaotic systems validate the correctness of our error bounds while demonstrating the scalability of PINNs and their significant computational speedup in obtaining accurate PDF solutions compared to the Monte Carlo approach.
• Abstract（参考訳）: 確率微分方程式は一般に確率過程の進化を記述するために用いられる。 このような過程の状態の不確実性は確率密度関数(PDF)によって最もよく表され、その進化はフォッカー・プランク偏微分方程式(FP-PDE)によって制御される。 しかし、一般にFP-PDEを閉形式で解くことは不可能である。 本研究では,物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)を学習して,解のPDFを近似できることを示す。 我々の主な貢献はPINN近似誤差の解析であり、PINNを用いて厳密なエラー境界を構築する理論的枠組みを開発する。 さらに,標準的な訓練手法で効率的に構築できる実用的な誤差境界を導出する。 我々は、このエラーバウンドフレームワークが他の線形PDEの近似解に一般化されることについて議論する。 非線形, 高次元, カオス系の実験結果から, PINNのスケーラビリティと, モンテカルロ法と比較して精度の高いPDFソリューションを得る際の計算速度の向上を実証しながら, 誤差境界の正しさを検証した。

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