論文の概要: LTB curves with Lipschitz turn are par-regular
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2112.09567v1
- Date: Wed, 15 Dec 2021 10:10:07 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-12-20 15:43:41.806785
- Title: LTB curves with Lipschitz turn are par-regular
- Title（参考訳）: リプシッツ回転を持つ LTB 曲線は正則である
- Authors: Etienne Le Quentrec (AMU), Lo\"ic Mazo (UNISTRA), \'Etienne Baudrier
(UNISTRA), Mohamed Tajine (UNISTRA)
- Abstract要約: 本報告では、局所的な旋回有界曲線のクラス内の部分正則曲線のクラスを定義する。
逆アサーション(英語版)を証明し、リプシッツ回転を持つ局所回転有界曲線は部分正則である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Preserving the topology during a digitization process is a requirement of
first importance. To this end, it is classical in Digital Geometry to assume
the shape borders to be par-regular. Par-regularity was proved to be equivalent
to having positive reach or to belong to the class C 1,1 of curves with
Lipschitz derivative. Recently, we proposed to use a larger class that
encompasses polygons with obtuse angles, the locally turn-bounded curves. The
aim of this technical report is to define the class of par-regular curves
inside the class of locally turn-bounded curves using only the notion of turn,
that is of integral curvature. To be more precise, in a previous article, we
have already proved that par-regular curves are locally turn-bounded.
Incidentally this proof lead us to show that the turn of par-regular curves is
a Lipschitz function of their length. We call the class of curves verifying
this latter property the curves with Lipschitz turn. In this technical report,
we prove the converse assertion : locally turn-bounded curves with Lipschitz
turn are par-regular. The equivalence is stated in Theorem 3.1 and the converse
assertion is proved in Lemma 3.2. In section 1, we recall the definition of
par-regularity and equivalently of sets with positive reach. In section 2, we
present the notions of curves locally turn-bounded and of curves with Lipschitz
turn. Throughout this latter section, some of intermediate steps (Lemmas 2.3
and 2.11) are proved just after the introduction of their related notions. The
last section (section 3) is dedicated to the proof of the equivalence of the
notions.
- Abstract（参考訳）: デジタル化プロセス中にトポロジを保存することは、最初の重要な要件である。
この目的のために、Digital Geometryでは、形状境界が正則であると仮定するのは古典的である。
パリレギュラリティは正のリーチを持つか、リプシッツ微分を持つ曲線のクラスc 1,1に属することが証明された。
最近我々は、局所的な曲がり角を持つ多角形を含むより大きいクラスを使うことを提案した。
この技術報告の目的は、ターンの概念(つまり積分曲率)のみを用いて、局所的なターンバウンド曲線のクラス内のパーレギュラー曲線のクラスを定義することである。
より正確には、前回の記事では、パーレギュラー曲線が局所的なターンバウンドであることを既に証明している。
ちなみにこの証明は、部分正則曲線の回転がその長さのリプシッツ函数であることを示す。
この後者の性質を検証する曲線のクラスをリプシッツ回転を持つ曲線と呼ぶ。
この技術的報告では、逆アサーションが証明される: リプシッツターンを持つ局所的なターンバウンド曲線は正則である。
同値性は Theorem 3.1 で記述され、逆アサーションは Lemma 3.2 で証明される。
第1節では、パリティの定義と正のリーチを持つ集合の定義を思い出す。
第2節では、局所的に曲がる曲線とリプシッツ回転を持つ曲線の概念を述べる。
後者の節を通して、いくつかの中間段階 (Lemmas 2.3 と 2.11) がそれらの関連する概念の導入の直後に証明される。
最後のセクション(第3節)は、概念の等価性の証明に捧げられている。
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