論文の概要: Frame invariance and scalability of neural operators for partial differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2112.14769v1
• Date: Tue, 28 Dec 2021 02:36:19 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-01-09 12:56:58.976056
• Title: Frame invariance and scalability of neural operators for partial differential equations
• Title（参考訳）: 偏微分方程式に対するニューラルネットワークのフレーム不変性と拡張性
• Authors: Muhammad I. Zafar, Jiequn Han, Xu-Hui Zhou and Heng Xiao
• Abstract要約: 偏微分方程式(PDE)は多くの複雑な力学過程の数学的モデリングにおいて支配的な役割を果たす。 トレーニング後、ニューラル演算子は従来のPDE解法よりもはるかに高速なPDEソリューションを提供することができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.872676314924041
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Partial differential equations (PDEs) play a dominant role in the mathematical modeling of many complex dynamical processes. Solving these PDEs often requires prohibitively high computational costs, especially when multiple evaluations must be made for different parameters or conditions. After training, neural operators can provide PDEs solutions significantly faster than traditional PDE solvers. In this work, invariance properties and computational complexity of two neural operators are examined for transport PDE of a scalar quantity. Neural operator based on graph kernel network (GKN) operates on graph-structured data to incorporate nonlocal dependencies. Here we propose a modified formulation of GKN to achieve frame invariance. Vector cloud neural network (VCNN) is an alternate neural operator with embedded frame invariance which operates on point cloud data. GKN-based neural operator demonstrates slightly better predictive performance compared to VCNN. However, GKN requires an excessively high computational cost that increases quadratically with the increasing number of discretized objects as compared to a linear increase for VCNN.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)は多くの複雑な力学過程の数学的モデリングにおいて支配的な役割を果たす。 これらのPDEを解くには、特に異なるパラメータや条件に対して複数の評価を行う必要がある場合、非常に高い計算コストが要求される。 トレーニング後、ニューラル演算子は従来のPDE解法よりもはるかに高速なPDEソリューションを提供することができる。 本研究では,スカラー量のPDE輸送のために,2つのニューラル演算子の不変性と計算複雑性を検討した。 グラフカーネルネットワーク(GKN)に基づくニューラル演算子は、非ローカル依存関係を組み込むためにグラフ構造化データを操作する。 本稿では,フレーム不変性を実現するため,GKNの修正式を提案する。 Vector Cloud Neural Network (VCNN) は、点クラウドデータを操作する組込みフレーム不変性を持つ代替ニューラルネットワークである。 GKNベースのニューラルオペレータは、VCNNと比較してわずかに優れた予測性能を示している。 しかし、GKNは、VCNNの線形増加と比較して、離散化されたオブジェクトの数が増加するにつれて二次的に増加する過度に高い計算コストを必要とする。

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