論文の概要: Quantum $f$-divergences via Nussbaum-Szko{\l}a Distributions with
applications to Petz-R\'enyi and von Neumann Relative Entropy
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2203.01964v2
- Date: Thu, 28 Apr 2022 20:44:28 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-02-23 05:34:22.920692
- Title: Quantum $f$-divergences via Nussbaum-Szko{\l}a Distributions with
applications to Petz-R\'enyi and von Neumann Relative Entropy
- Title（参考訳）: nussbaum-szko{\l}a分布による量子f$-divergencesとpetz-r\'enyiとフォン・ノイマン相対エントロピーへの応用
- Authors: George Androulakis, Tiju Cherian John
- Abstract要約: 2つの状態の量子$f$分割は、対応するNussbaum-Szkola分布の古典的な$f$分割と同じであることを示す。
ペッツ・レーニとフォン・ノイマンの相対エントロピーを研究し、これらの量子エントロピーが対応する古典的エントロピーと等しいことを証明した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We prove that the quantum $f$-divergence of two states (density operators on
a Hilbert space of finite or infinite dimensions) is same as the classical
$f$-divergence of the corresponding Nussbaum-Szko{\l}a distributions. This
provides a general framework to study most of the known quantum entropic
quantities using the corresponding classical entities. In this spirit, we study
the Petz-R\'enyi and von Neumann relative entropy and prove that these quantum
entropies are equal to the corresponding classical counterparts of the
Nussbaum-Szko{\l}a distributions. This is a generalization of a finite
dimensional result that was proved by Nussbaum and Szko{\l}a [Ann. Statist. 37,
2009, 2] to the infinite dimensions. We apply classical results about R\'enyi
and Kullback-Leibler divergences to obtain new results and new proofs for some
known results about the quantum relative entropies. Most important among these
are (i) a quantum Pinsker type inequality in the infinite dimensions, and (ii)
necessary and sufficient conditions for the finiteness of the Petz-R\'enyi
$\alpha$-relative entropy for any order $\alpha \in [0, \infty]$. Furthermore,
we construct an example to show that the information theoretic definition of
the von Neumann relative entropy is different from Araki's definition of
relative entropy when the dimension of the Hilbert space is infinite. This
discrepancy can be bridged using the notion of the distribution of an unbounded
positive selfadjoint operator with respect to a positive compact operator and
Haagerup's extension of the trace. Our results are valid in both finite and
infinite dimensions and hence can be applied to continuous variable systems as
well.
- Abstract（参考訳）: 2つの状態(有限または無限次元のヒルベルト空間上の密度作用素)の量子 $f$-divergence は、対応するnussbaum-szko{\l}a分布の古典的$f$-divergence と同じであることが証明される。
これは、既知の量子エントロピー量の大部分を対応する古典的実体を用いて研究するための一般的な枠組みを提供する。
この精神の中で、petz-r\'enyi と von neumann の相対エントロピーを研究し、これらの量子エントロピーがnussbaum-szko{\l}a分布の対応する古典的エントロピーに等しいことを証明した。
これは、Nussbaum と Szko{\l}a [Ann. Statist. 37, 2009 2] によって無限次元に証明された有限次元結果の一般化である。
r\'enyi と kullback-leibler divergences の古典的結果を適用し、新しい結果と量子相対エントロピーに関する既知の結果の新しい証明を得る。
中でも最も重要なのは
(i)無限次元における量子ピンスカー型不等式、
(ii) 任意の位数 $\alpha \in [0, \infty]$ に対して Petz-R\enyi $\alpha$-relative entropy の有限性の必要十分条件
さらに、フォン・ノイマン相対エントロピーの情報理論的定義が、ヒルベルト空間の次元が無限であるときのアラキの相対エントロピーの定義と異なることを示す例として構成する。
この差は、負のコンパクト作用素に対する非有界な正の自己共役作用素の分布と、トレースのハージュラップの拡張の概念を用いて橋渡しすることができる。
我々の結果は有限次元と無限次元の両方で有効であり、したがって連続変数系にも適用できる。
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