論文の概要: Hydrogen Atom in Electric and Magnetic Fields: Dynamical Symmetries,
Superintegrable and Integrable Systems, Exact Solutions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2203.02730v2
- Date: Thu, 30 Jun 2022 17:26:33 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-02-23 05:36:19.136086
- Title: Hydrogen Atom in Electric and Magnetic Fields: Dynamical Symmetries,
Superintegrable and Integrable Systems, Exact Solutions
- Title（参考訳）: 電気及び磁場中の水素原子:動的対称性、超可積分系および可積分系、厳密解
- Authors: Mikhail A. Liberman
- Abstract要約: 純粋な水素原子のハミルトニアンは、運動の積分によって生成されるSO(4)対称性基を持つ。
一様電場中の水素原子に対するシュル「オーディンガー方程式」は放物線座標において分離可能である。
一様磁場における水素原子の量子状態を記述する正確な解析解が得られる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: The Hamiltonian of a pure hydrogen atom possesses the SO(4) symmetry group
generated by the integrals of motion: the angular momentum and the Runge-Lenz
vector. The pure hydrogen atom is a supersymmetric and superintegrable system,
since the Hamilton-Jacobi and the Schr\"odinger equations are separable in
several different coordinate systems and has an exact analytical solution. The
Schr\"odinger equation for a hydrogen atom in a uniform electric field (Stark
effect) is separable in parabolic coordinates. The system has two conserved
quantities: z-projections of the generalized Runge-Lenz vector and of the
angular momentum. The problem is integrable and has the symmetry group
SO(2)xSO(2). The ion of the hydrogen molecule (problem of two Coulomb centers)
has similar symmetry group SO(2)xSO(2) generated by two conserved z-projections
of the generalized Runge-Lenz and of the angular momentum on the internuclear
axis. The corresponding Schr\"odinger equation is separable in the elliptical
coordinates. For the hydrogen atom in a uniform magnetic field, the respective
Schr\"odinger equation is not separable. The problem is non-separable and
non-integrable and is considered as a representative example of quantum chaos
that cannot be solved by any analytical method. Nevertheless, an exact
analytical solution describing the quantum states of a hydrogen atom in a
uniform magnetic field can be obtained as a convergent power series in two
variables, the radius and the sine of the polar angle. The energy levels and
wave functions for the ground and excited states can be calculated exactly,
with any desired accuracy, for an arbitrary strength of the magnetic field.
Therefore, the problem can be considered superintegrable, although it does not
possess supersymmetry and additional integrals of motion.
- Abstract（参考訳）: 純粋な水素原子のハミルトニアンは運動の積分(角運動量とルンゲ・レンツベクトル)によって生成されるSO(4)対称性群を持つ。
純粋な水素原子は超対称で超可積分な系であり、ハミルトン・ヤコビ方程式とシュリンガー方程式はいくつかの異なる座標系で分離可能であり、正確な解析解を持つ。
一様電場中の水素原子に対するシュル=オディンガー方程式(スターク効果)は放物線座標において分離可能である。
この系は、一般化されたランジュ・レンツベクトルのz射影と角運動量の2つの保存量を持つ。
問題は可積分であり、対称性群 SO(2)xSO(2) を持つ。
水素分子(2つのクーロン中心のプロブレム)のイオンは、一般化されたルンゲ・レンツの2つの保存されたz-射影と核間軸上の角運動量の類似した対称性群 SO(2)xSO(2) を持つ。
対応するシュリンガー方程式は楕円座標で分離可能である。
一様磁場中の水素原子に対しては、それぞれのschr\"odinger方程式は分離できない。
この問題は分離可能で非可積分であり、量子カオスの代表的な例と見なされ、解析的な手法では解決できない。
それでも、均一磁場中の水素原子の量子状態を記述する正確な解析解は、極角の半径と正弦の2つの変数の収束電力系列として得られる。
基底状態と励起状態のエネルギー準位と波動関数は、磁場の任意の強さに対して、所望の精度で正確に計算することができる。
したがって、この問題は超可積分と見なすことができるが、超対称性や運動の付加積分は持たない。
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