論文の概要: A trace inequality of Ando, Hiai and Okubo and a monotonicity property
of the Golden-Thompson inequality
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2203.06136v1
- Date: Fri, 11 Mar 2022 18:09:13 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-02-22 09:23:16.861030
- Title: A trace inequality of Ando, Hiai and Okubo and a monotonicity property
of the Golden-Thompson inequality
- Title（参考訳）: 安東・比愛・大久保の痕跡不平等と金トンプソン不平等の単調性
- Authors: Eric A. Carlen and Elliott H. Lieb
- Abstract要約: ゴールデン・トンプソントレースの不等式$Tr, eH+K leq Tr, eH eK$は量子統計力学において非常に有用であることが証明された。
ここでは、このG-T不等式を、ある作用素に対して$H=Delta$ または $H= -sqrt-Delta +m$ および $K=$ potential, $Tr, eH+ (1-u)KeuK$ が$0leq のパラメータ $u$ の単調増加関数であることを証明することによって、より明確にする。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.5229257192293197
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The Golden-Thompson trace inequality which states that $Tr\, e^{H+K} \leq
Tr\, e^H e^K$ has proved to be very useful in quantum statistical mechanics.
Golden used it to show that the classical free energy is less than the quantum
one. Here we make this G-T inequality more explicit by proving that for some
operators, notably the operators of interest in quantum mechanics, $H=\Delta$
or $H= -\sqrt{-\Delta +m}$ and $K=$ potential, $Tr\, e^{H+(1-u)K}e^{uK}$ is a
monotone increasing function of the parameter $u$ for $0\leq u \leq 1$. Our
proof utilizes an inequality of Ando, Hiai and Okubo (AHO): $Tr\,
X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t} \leq Tr\, XY$ for positive operators X,Y and for
$\tfrac{1}{2} \leq s,\,t \leq 1 $ and $s+t \leq \tfrac{3}{2}$. The obvious
conjecture that this inequality should hold up to $s+t\leq 1$, was proved false
by Plevnik. We give a different proof of AHO and also give more counterexamples
in the $\tfrac{3}{2}, 1$ range. More importantly we show that the inequality
conjectured in AHO does indeed hold in this range if $X,Y$ have a certain
positivity property -- one which does hold for quantum mechanical operators,
thus enabling us to prove our G-T monotonicity theorem.
- Abstract（参考訳）: ゴールデン・トンプソンのトレース不等式は、$Tr\, e^{H+K} \leq Tr\, e^H e^K$ が量子統計力学において非常に有用であることが証明されている。
ゴールデンはこれを古典自由エネルギーが量子エネルギーよりも小さいことを示すために使った。
ここでは、このG-T不等式をより明確にするために、いくつかの作用素、特に量子力学に関心を持つ作用素に対して、$H=\Delta$ または $H= -\sqrt{-\Delta +m}$ と $K=$ potential, $Tr\, e^{H+(1-u)K}e^{uK}$ は、パラメータ $u$ for $0\leq u \leq 1$ の単調増加函数であることを示す。
我々の証明は、Ando, Hiai and Okubo (AHO): $Tr\, X^sY^tX^{1-s}Y^{1-t} \leq Tr\, XY$ for positive operator X,Y and for $\tfrac{1}{2} \leq s,\,t \leq 1 $ and $s+t \leq \tfrac{3}{2}$である。
この不等式が$s+t\leq 1$に達するという明らかな予想はプレヴニクによって証明された。
AHO の異なる証明を与え、さらに $\tfrac{3}{2}, 1$ range の反例を与える。
さらに重要なことは、AHO で予想される不等式が、量子力学的作用素を保ち、G-T の単調性定理を証明できるように、$X,Y$ がある種の正の性質を持つならば、この範囲で実際に成り立つことを示す。
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