論文の概要: Uniform observable error bounds of Trotter formulae for the
semiclassical Schr\"odinger equation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2208.07957v1
- Date: Tue, 16 Aug 2022 21:34:49 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-30 22:46:14.285083
- Title: Uniform observable error bounds of Trotter formulae for the
semiclassical Schr\"odinger equation
- Title（参考訳）: 半古典型Schr\"odinger方程式に対するトロッター公式の一様可観測誤差境界
- Authors: Yonah Borns-Weil, Di Fang
- Abstract要約: 観測可能なクラスの計算コストは、最先端の限界よりもはるかに低いことを示します。
観測可能な進化に使用されるトロッターステップの数は$O(1)$であり、量子スケール上のシュル「オーディンガー方程式」の観測値のいくつかをシミュレートすることができる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: By no fast-forwarding theorem, the simulation time for the Hamiltonian
evolution needs to be $O(\|H\| t)$, which essentially states that one can not
go across the multiple scales as the simulation time for the Hamiltonian
evolution needs to be strictly greater than the physical time. We demonstrated
in the context of the semiclassical Schr\"odinger equation that the
computational cost for a class of observables can be much lower than the
state-of-the-art bounds. In the semiclassical regime (the effective Planck
constant $h \ll 1$), the operator norm of the Hamiltonian is $O(h^{-1})$. We
show that the number of Trotter steps used for the observable evolution can be
$O(1)$, that is, to simulate some observables of the Schr\"odinger equation on
a quantum scale only takes the simulation time comparable to the classical
scale. In terms of error analysis, we improve the additive observable error
bounds [Lasser-Lubich 2020] to uniform-in-$h$ observable error bounds. This is,
to our knowledge, the first uniform observable error bound for semiclassical
Schr\"odinger equation without sacrificing the convergence order of the
numerical method. Based on semiclassical calculus and discrete microlocal
analysis, our result showcases the potential improvements taking advantage of
multiscale properties, such as the smallness of the effective Planck constant,
of the underlying dynamics and sheds light on going across the scale for
quantum dynamics simulation.
- Abstract（参考訳）: 高速フォワードの定理がなければ、ハミルトン進化のシミュレーション時間は$O(\|H\| t)$でなければならない。
半古典型Schr\"odinger方程式の文脈において、観測可能なクラスの計算コストが最先端境界よりもはるかに低いことを実証した。
半古典的体系(有効なプランク定数 $h \ll 1$)では、ハミルトニアンの作用素ノルムは $o(h^{-1})$ である。
観測可能な進化に使用されるトロッターステップの数は$O(1)$であり、量子スケール上のシュリンガー方程式の可観測性をシミュレートするには古典的なスケールに匹敵するシミュレーション時間しかかからないことを示す。
誤差解析の観点では、加算可観測誤差境界 [Lasser-Lubich 2020] を均一な-$h$可観測誤差境界に改善する。
これは、我々の知る限り、数値法の収束順序を犠牲にすることなく半古典的シュリンガー方程式に対する最初の一様可観測誤差である。
半古典的計算と離散的マイクロ局所解析に基づいて, 量子力学シミュレーションにおいて, 有効なプランク定数の小ささ, 基礎となる力学, 量子力学シミュレーションのスケールに光を当てるなど, マルチスケール特性を利用した潜在的な改善を示す。
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