論文の概要: Uniform observable error bounds of Trotter formulae for the semiclassical Schrödinger equation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2208.07957v2
- Date: Tue, 13 Aug 2024 00:16:59 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-08-14 23:38:51.761687
- Title: Uniform observable error bounds of Trotter formulae for the semiclassical Schrödinger equation
- Title（参考訳）: 半古典シュレーディンガー方程式に対するトロッター公式の一様可観測誤差境界
- Authors: Yonah Borns-Weil, Di Fang,
- Abstract要約: 観測可能なクラスの計算コストは、最先端の限界よりもはるかに低いことを示します。
We improve the additive observable error bounds to uniform-in-$h$ observable error bounds。
これは、我々の知る限りでは、半古典的シュル「オーディンガー方程式」に対する最初の一様可観測誤差である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: Known as no fast-forwarding theorem in quantum computing, the simulation time for the Hamiltonian evolution needs to be $O(\|H\| t)$ in the worst case, which essentially states that one can not go across the multiple scales as the simulation time for the Hamiltonian evolution needs to be strictly greater than the physical time. We demonstrated in the context of the semiclassical Schr\"odinger equation that the computational cost for a class of observables can be much lower than the state-of-the-art bounds. In the semiclassical regime (the effective Planck constant $h \ll 1$), the operator norm of the Hamiltonian is $O(h^{-1})$. We show that the number of Trotter steps used for the observable evolution can be $O(1)$, that is, to simulate some observables of the Schr\"odinger equation on a quantum scale only takes the simulation time comparable to the classical scale. In terms of error analysis, we improve the additive observable error bounds [Lasser-Lubich 2020] to uniform-in-$h$ observable error bounds. This is, to our knowledge, the first uniform observable error bound for semiclassical Schr\"odinger equation without sacrificing the convergence order of the numerical method. Based on semiclassical calculus and discrete microlocal analysis, our result showcases the potential improvements taking advantage of multiscale properties, such as the smallness of the effective Planck constant, of the underlying dynamics and sheds light on going across the scale for quantum dynamics simulation.
- Abstract（参考訳）: 量子コンピューティングにおける高速フォワード定理として知られており、ハミルトン進化のシミュレーション時間は、最悪の場合、$O(\|H\| t)$でなければならない。
半古典的なSchr\"odinger方程式の文脈において、オブザーバブルのクラスに対する計算コストが最先端境界よりもはるかに低いことを実証した。
半古典的状態(有効プランク定数$h \ll 1$)では、ハミルトニアンの作用素ノルムは$O(h^{-1})$である。
観測可能な進化に使用されるトロッターステップの数は$O(1)$であり、量子スケール上のシュリンガー方程式の可観測性をシミュレートするには古典的なスケールに匹敵するシミュレーション時間しかかからないことを示す。
誤差解析の観点では、加算可観測誤差境界 [Lasser-Lubich 2020] を均一な-$h$可観測誤差境界に改善する。
これは、我々の知る限り、数値法の収束順序を犠牲にすることなく半古典的シュリンガー方程式に対する最初の一様可観測誤差である。
半古典的計算と離散的マイクロローカル解析に基づいて,量子力学シミュレーションにおいて,有効プランク定数の小さいこと,基礎となるダイナミクスの小さいこと,量子力学シミュレーションのスケールを越える際のシャード光など,マルチスケール特性を利用した潜在的な改善を示す。
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