論文の概要: $r-$Adaptive Deep Learning Method for Solving Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2210.10900v1
• Date: Wed, 19 Oct 2022 21:38:46 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-10-21 13:40:06.489490
• Title: $r-$Adaptive Deep Learning Method for Solving Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: 部分微分方程式を解くための$r-$Adaptive Deep Learning法
• Authors: \'Angel J. Omella and David Pardo
• Abstract要約: 本稿では,Deep Neural Network を用いて部分微分方程式を解くための$r-$adaptiveアルゴリズムを提案する。 提案手法は, テンソル積メッシュに制限され, 境界ノードの位置を1次元で最適化し, そこから2次元または3次元メッシュを構築する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.685316573653194
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We introduce an $r-$adaptive algorithm to solve Partial Differential Equations using a Deep Neural Network. The proposed method restricts to tensor product meshes and optimizes the boundary node locations in one dimension, from which we build two- or three-dimensional meshes. The method allows the definition of fixed interfaces to design conforming meshes, and enables changes in the topology, i.e., some nodes can jump across fixed interfaces. The method simultaneously optimizes the node locations and the PDE solution values over the resulting mesh. To numerically illustrate the performance of our proposed $r-$adaptive method, we apply it in combination with a collocation method, a Least Squares Method, and a Deep Ritz Method. We focus on the latter to solve one- and two-dimensional problems whose solutions are smooth, singular, and/or exhibit strong gradients.
• Abstract（参考訳）: 深層ニューラルネットワークを用いた偏微分方程式の解法として,$r-$adaptiveアルゴリズムを提案する。 提案手法は, テンソル積メッシュに制限を課し, 境界ノードの位置を1次元で最適化し, そこから2次元または3次元メッシュを構築する。 この方法では、固定インターフェースを定義することで、メッシュに準拠した設計が可能になり、トポロジの変化、すなわち固定インターフェースを飛び越えるノードなどが可能になる。 この手法はノード位置とPDEソリューション値を同時にメッシュ上で最適化する。 提案した$r-$adaptive法の性能を数値的に説明するために,コロケーション法,Last Squares法,Deep Ritz法と組み合わせて適用する。 我々は, 解が滑らか, 特異, または強い勾配を示す一次元および二次元問題を解くために, 後者に焦点を当てる。

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