論文の概要: A Hybrid Kernel-Free Boundary Integral Method with Operator Learning for Solving Parametric Partial Differential Equations In Complex Domains

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.15242v1
• Date: Tue, 23 Apr 2024 17:25:35 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-04-24 12:53:16.032099
• Title: A Hybrid Kernel-Free Boundary Integral Method with Operator Learning for Solving Parametric Partial Differential Equations In Complex Domains
• Title（参考訳）: 複素領域におけるパラメトリック部分微分方程式の解法のための演算子学習を用いたハイブリッドカーネルフリー境界積分法
• Authors: Shuo Ling, Liwei Tan, Wenjun Ying,
• Abstract要約: カーネル自由境界積分法(KFBI)は楕円偏微分方程式(PDE)から生じる境界積分方程式に対する反復解を示す 本稿では,KFBI法の基本原理と深層学習能力を統合するハイブリッドKFBI法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The Kernel-Free Boundary Integral (KFBI) method presents an iterative solution to boundary integral equations arising from elliptic partial differential equations (PDEs). This method effectively addresses elliptic PDEs on irregular domains, including the modified Helmholtz, Stokes, and elasticity equations. The rapid evolution of neural networks and deep learning has invigorated the exploration of numerical PDEs. An increasing interest is observed in deep learning approaches that seamlessly integrate mathematical principles for investigating numerical PDEs. We propose a hybrid KFBI method, integrating the foundational principles of the KFBI method with the capabilities of deep learning. This approach, within the framework of the boundary integral method, designs a network to approximate the solution operator for the corresponding integral equations by mapping the parameters, inhomogeneous terms and boundary information of PDEs to the boundary density functions, which can be regarded as the solution of the integral equations. The models are trained using data generated by the Cartesian grid-based KFBI algorithm, exhibiting robust generalization capabilities. It accurately predicts density functions across diverse boundary conditions and parameters within the same class of equations. Experimental results demonstrate that the trained model can directly infer the boundary density function with satisfactory precision, obviating the need for iterative steps in solving boundary integral equations. Furthermore, applying the inference results of the model as initial values for iterations is also reasonable; this approach can retain the inherent second-order accuracy of the KFBI method while accelerating the traditional KFBI approach by reducing about 50% iterations.
• Abstract（参考訳）: カーネル自由境界積分法(KFBI)は、楕円偏微分方程式(PDE)から生じる境界積分方程式に対する反復解を提示する。 この方法は、修正されたヘルムホルツ、ストークス、弾性方程式を含む不規則領域上の楕円型PDEを効果的に処理する。 ニューラルネットワークとディープラーニングの急速な進化により、数値PDEの探索が活発になった。 数値PDEを解析するための数学的原理をシームレスに統合する深層学習手法に注目が集まっている。 本稿では,KFBI法の基本原理と深層学習能力を統合するハイブリッドKFBI法を提案する。 この手法は、境界積分法の枠組みの中で、PDEのパラメータ、不均一項、境界情報を境界密度関数にマッピングすることで、対応する積分方程式の解作用素を近似するネットワークを設計し、積分方程式の解と見なすことができる。 モデルは、カルテシアングリッドベースのKFBIアルゴリズムによって生成されたデータを用いて訓練され、堅牢な一般化能力を示す。 同じ方程式のクラス内の様々な境界条件とパラメータにまたがる密度関数を正確に予測する。 実験結果から, 学習モデルでは, 境界密度関数を良好な精度で直接推算することができ, 境界積分方程式の解法における反復的なステップの必要性を回避できることがわかった。 さらに、モデルの推論結果をイテレーションの初期値として適用することは合理的であり、約50%のイテレーションを削減し、従来のKFBIアプローチを加速させながら、KFBI法固有の2次精度を維持することができる。

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