論文の概要: Meta-Auto-Decoder for Solving Parametric Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2111.08823v1
• Date: Mon, 15 Nov 2021 02:51:42 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-11-18 14:16:20.034258
• Title: Meta-Auto-Decoder for Solving Parametric Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: パラメトリック偏微分方程式を解くメタオートデコーダ
• Authors: Xiang Huang, Zhanhong Ye, Hongsheng Liu, Beiji Shi, Zidong Wang, Kang Yang, Yang Li, Bingya Weng, Min Wang, Haotian Chu, Jing Zhou, Fan Yu, Bei Hua, Lei Chen, Bin Dong
• Abstract要約: 部分微分方程式 (Partial Differential Equations, PDE) は、科学と工学の多くの分野においてユビキタスであり、解決が困難である。 提案手法はメタオートデコーダ(MAD)と呼ばれ,パラメトリックPDEをメタ学習問題として扱う。 MADは、他のディープラーニング手法と比較して精度を損なうことなく、より高速な収束速度を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 32.46080264991759
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Partial Differential Equations (PDEs) are ubiquitous in many disciplines of science and engineering and notoriously difficult to solve. In general, closed-form solutions of PDEs are unavailable and numerical approximation methods are computationally expensive. The parameters of PDEs are variable in many applications, such as inverse problems, control and optimization, risk assessment, and uncertainty quantification. In these applications, our goal is to solve parametric PDEs rather than one instance of them. Our proposed approach, called Meta-Auto-Decoder (MAD), treats solving parametric PDEs as a meta-learning problem and utilizes the Auto-Decoder structure in \cite{park2019deepsdf} to deal with different tasks/PDEs. Physics-informed losses induced from the PDE governing equations and boundary conditions is used as the training losses for different tasks. The goal of MAD is to learn a good model initialization that can generalize across different tasks, and eventually enables the unseen task to be learned faster. The inspiration of MAD comes from (conjectured) low-dimensional structure of parametric PDE solutions and we explain our approach from the perspective of manifold learning. Finally, we demonstrate the power of MAD though extensive numerical studies, including Burgers' equation, Laplace's equation and time-domain Maxwell's equations. MAD exhibits faster convergence speed without losing the accuracy compared with other deep learning methods.
• Abstract（参考訳）: 部分微分方程式 (Partial Differential Equations, PDE) は、科学と工学の多くの分野においてユビキタスであり、解決が困難である。 一般に、PDEの閉形式解は利用できず、数値近似法は計算コストが高い。 PDEのパラメータは、逆問題、制御と最適化、リスク評価、不確実性定量化など、多くのアプリケーションで可変である。 これらのアプリケーションでは、1つのインスタンスではなくパラメトリックpdesを解決することが目標です。 提案手法はメタオートデコーダ (mad) と呼ばれ, パラメトリック pdes の解法をメタ学習問題として扱い, 異なるタスク/pde を扱うために \cite{park2019deepsdf} のオートデコーダ構造を利用する。 PDE支配方程式と境界条件から引き起こされる物理インフォームド損失は、異なるタスクのトレーニング損失として使用される。 MADの目標は、様々なタスクをまたいで一般化できる優れたモデル初期化を学習し、最終的に見えないタスクをより早く学習できるようにすることである。 MADのインスピレーションはパラメトリックPDE解の低次元構造から来ており、多様体学習の観点から我々のアプローチを説明する。 最後に,バーガーズ方程式,ラプラス方程式,時間領域マクスウェル方程式など,広範な数値研究を行いながら,狂気の力を示す。 MADは、他のディープラーニング手法と比較して精度を損なうことなく、より高速な収束速度を示す。

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