論文の概要: A physics-informed search for metric solutions to Ricci flow, their embeddings, and visualisation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.05892v1
• Date: Wed, 30 Nov 2022 08:17:06 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-12-18 19:00:24.252807
• Title: A physics-informed search for metric solutions to Ricci flow, their embeddings, and visualisation
• Title（参考訳）: リッチ流れの計量解の物理学的不定形探索とその埋め込みと可視化
• Authors: Aarjav Jain, Challenger Mishra, Pietro Li\`o
• Abstract要約: 損失関数にPDEを埋め込んだニューラルネットワークを関数近似器として利用する。 一般的な方法を開発し、実際のトーラスに適用する。 標準PDEソルバを用いて得られたスカラー曲率の時間変化を比較して, 解の有効性を検証した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Neural networks with PDEs embedded in their loss functions (physics-informed neural networks) are employed as a function approximators to find solutions to the Ricci flow (a curvature based evolution) of Riemannian metrics. A general method is developed and applied to the real torus. The validity of the solution is verified by comparing the time evolution of scalar curvature with that found using a standard PDE solver, which decreases to a constant value of 0 on the whole manifold. We also consider certain solitonic solutions to the Ricci flow equation in two real dimensions. We create visualisations of the flow by utilising an embedding into $\mathbb{R}^3$. Snapshots of highly accurate numerical evolution of the toroidal metric over time are reported. We provide guidelines on applications of this methodology to the problem of determining Ricci flat Calabi--Yau metrics in the context of String theory, a long standing problem in complex geometry.
• Abstract（参考訳）: PDEを損失関数(物理インフォームドニューラルネットワーク)に埋め込んだニューラルネットワークは、リーマン計量のリッチフロー(曲率に基づく進化)の解を求める関数近似器として用いられる。 一般的な方法が開発され、実際のトーラスに適用される。 解の妥当性は、スカラー曲率の時間的発展と標準PDEソルバを用いて得られた時間的発展を比較して検証し、多様体全体の定数0まで減少する。 また, 2次元のリッチフロー方程式に対するある種のソリトニック解を考える。 我々は$\mathbb{R}^3$への埋め込みを利用してフローの可視化を作成する。 トロイダル計量の時間的高精度な数値進化のスナップショットが報告されている。 複素幾何学における長期問題である弦理論の文脈におけるリッチ平坦カラビ-ヤウ計量を決定する問題へのこの方法論の適用に関するガイドラインを提供する。

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