論文の概要: Quantum relaxation for quadratic programs over orthogonal matrices
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.01778v1
- Date: Wed, 4 Jan 2023 19:00:01 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-08 22:25:03.412984
- Title: Quantum relaxation for quadratic programs over orthogonal matrices
- Title（参考訳）: 直交行列上の二次プログラムに対する量子緩和
- Authors: Andrew Zhao, Nicholas C. Rubin
- Abstract要約: 二次計画問題の量子緩和により,高品質な近似が得られることを示す。
我々は、我々の緩和が回転行列の凸殻に基づく追加の強力な制約に自然従うことを示した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Quadratic programming over the (special) orthogonal group encompasses a broad
class of optimization problems such as group synchronization, point-set
registration, and simultaneous localization and mapping. Such problems are
instances of the little noncommutative Grothendieck problem (LNCG), a natural
generalization of quadratic combinatorial optimization where, instead of binary
decision variables, one optimizes over orthogonal matrices. In this work, we
establish an embedding of this class of LNCG problems over the orthogonal group
onto a quantum Hamiltonian. This embedding is accomplished by identifying
orthogonal matrices with their double cover (Pin and Spin group) elements,
which we represent as quantum states. We connect this construction to the
theory of free fermions, which provides a physical interpretation of the
derived LNCG Hamiltonian as a two-body interacting-fermion model due to the
quadratic nature of the problem. Determining extremal states of this
Hamiltonian provides an outer approximation to the original problem, analogous
to classical relaxations of the problem via semidefinite programming. When
optimizing over the special orthogonal group, our quantum relaxation naturally
obeys additional, powerful constraints based on the convex hull of rotation
matrices. The classical size of this convex-hull representation is exponential
in matrix dimension, whereas the quantum representation requires only a linear
number of qubits. Finally, to project the relaxed solution into the feasible
space, we employ rounding procedures which return orthogonal matrices from
appropriate measurements of the quantum state. Through numerical experiments we
provide evidence that this quantum relaxation can produce high-quality
approximations.
- Abstract（参考訳）: 特別な)直交群上の二次プログラミングは、群同期、点集合の登録、同時ローカライゼーションとマッピングといった幅広い最適化問題を含んでいる。
そのような問題は、二項決定変数の代わりに直交行列を最適化する二次組合せ最適化の自然な一般化である小さな非可換グロタンディーク問題(LNCG)の例である。
本研究では、直交群上のこのクラス LNCG 問題の量子ハミルトニアンへの埋め込みを確立する。
この埋め込みは直交行列をその二重被覆(ピン群とスピン群)要素で同定し、量子状態として表す。
我々はこの構成を自由フェルミオンの理論に結び付け、この問題の二次性に起因する2体相互作用フェルミオンモデルとして導出した LNCG ハミルトニアンを物理的に解釈する。
このハミルトン状態の決定は、半定値プログラミングによる問題の古典的緩和に類似した、元の問題に対する外的近似を与える。
特殊直交群を最適化するとき、我々の量子緩和は自然に回転行列の凸殻に基づくより強力な制約に従う。
この凸ハル表現の古典的大きさは行列次元において指数関数的であり、量子表現は線形数の量子ビットしか必要としない。
最後に、緩和された解を実現可能な空間に投影するために、量子状態の適切な測定から直交行列を返す丸めの手続きを用いる。
数値実験を通じて、この量子緩和が高品質な近似を生み出すことを示す。
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