論文の概要: The ZX-Calculus is Canonical in the Heisenberg Picture for Stabilizer
Quantum Mechanics
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.05717v1
- Date: Fri, 13 Jan 2023 19:00:01 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-18 19:20:39.287246
- Title: The ZX-Calculus is Canonical in the Heisenberg Picture for Stabilizer
Quantum Mechanics
- Title（参考訳）: zx-計算は安定化量子力学のハイゼンベルク図において正準的である
- Authors: J Biamonte and A Nasrallah
- Abstract要約: 2008年、コーケとダンカンは、量子回路、測定、量子状態による推論を形式化するグラフィカルなZX計算書き換えシステムを提案した。
2014年、バックンスは完全性を証明し、安定化器の量子力学における行列による導出は、ZX-計算を用いてグラフィカルに導出できることを証明した。
ここでは、安定化量子力学のために、還元ZX書き換え系がハイゼンベルク図形に既に収束していることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: In 2008 Coecke and Duncan proposed the graphical ZX-calculus rewrite system
which came to formalize reasoning with quantum circuits, measurements and
quantum states. The ZX-calculus is sound for qubit quantum mechanics. Hence,
equality of diagrams under ZX-equivalent transformations lifts to an equality
of corresponding equations over matrices. Conversely, in 2014 Backens proved
completeness, establishing that any derivation done in stabilizer quantum
mechanics with matrices can be derived graphically using the ZX-calculus. A
graphical rewrite system that is both confluent and also terminates uniquely is
called canonical: Applying alternate sequences of rewrites to the same initial
diagram, a rewrite system is confluent whenever all resulting diagrams can be
manipulated to establish graphical equivalence. Here we show that a reduced
ZX-rewrite system is already confluent in the Heisenberg picture for stabilizer
quantum mechanics. Moreover, any application of a subset of ZX-rewrites
terminates uniquely and irrespective of the order of term rewrites in the
Heisenberg picture for stabilizer quantum mechanics. The ZX-system is hence
Heisenberg-canonical for stabiliser quantum mechanics. For a stabilizer circuit
on $n$-qubits with $l$ single-qubit gates and $g$ two-qubit gates, the circuit
output can be derived graphically in the Heisenberg picture using no more than
$(\frac{1}{2}\cdot g+l)\cdot n$ graphical rewrites, thereby providing a
graphical proof of the Gottesman-Knill theorem. Finally, we establish that each
stabilizer state described by a Clifford circuit gives rise to a non-negative
parent Hamiltonian with $n+1$ terms and a one-dimensional kernel spanned by the
corresponding stabilizer state. Such parent Hamiltonians can be derived with
$\mathcal{O}(t\cdot n)$ graphical rewrites for a low energy state prepared by a
$t$-gate Clifford circuit.
- Abstract（参考訳）: 2008年、coeckeとduncanは、量子回路、測定、量子状態による推論を形式化するグラフィカルなzx計算書き換えシステムを提案した。
ZX-計算は量子量子力学の音である。
したがって、ZX-同値変換の下での図形の等式は、行列上の対応する方程式の等式へと持ち上げられる。
逆に、2014年、バックンスは完全性を証明し、安定な量子力学における行列による導出は、ZX-計算を用いてグラフィカルに導出できることを確認した。
書き直しの代替シーケンスを同じ初期図形に適用すると、すべての図形を編集してグラフィカル同値性を確立することができれば、書き直しシステムは収束する。
ここでは、安定化量子力学のために、還元ZX書き換え系がハイゼンベルク図に既に収束していることを示す。
さらに、zx-rewrites の部分集合の任意の応用は、安定化量子力学のハイゼンベルク像における項書き換えの順序によらず一意かつ無関係に終了する。
従って、ZX系は安定化器量子力学のハイゼンベルクカノニカルである。
n$-qubits 上の$l$シングルキュービットゲートと$g$ 2-キュービットゲートの安定化回路では、回路出力は$(\frac{1}{2}\cdot g+l)\cdot n$グラフィック書き換えなしでハイゼンベルクの図式的に導出でき、それによってゴッテマン=クニールの定理のグラフィカルな証明を提供する。
最後に、クリフォード回路によって記述される各安定化器状態は、n+1$項の非負の親ハミルトニアンと対応する安定化器状態にまたがる1次元の核を生じさせる。
そのような親ハミルトニアンは、$t$ゲートクリフォード回路で作成された低エネルギー状態に対して$\mathcal{O}(t\cdot n)$グラフィカルリライトで導出される。
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