論文の概要: Minimax estimation of discontinuous optimal transport maps: The
semi-discrete case
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.11302v1
- Date: Thu, 26 Jan 2023 18:41:38 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-27 12:48:55.824738
- Title: Minimax estimation of discontinuous optimal transport maps: The
semi-discrete case
- Title（参考訳）: 不連続最適輸送写像のミニマックス推定:半離散の場合
- Authors: Aram-Alexandre Pooladian, Vincent Divol, Jonathan Niles-Weed
- Abstract要約: 2つの確率分布、$P$ および $Q$ in $mathbb Rd$ の間の最適輸送写像を推定する問題を考える。
エントロピックな最適輸送に基づく推定器は、次元に依存しないミニマックス最適速度$n-1/2$で収束することを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 14.333765302506658
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We consider the problem of estimating the optimal transport map between two
probability distributions, $P$ and $Q$ in $\mathbb R^d$, on the basis of i.i.d.
samples. All existing statistical analyses of this problem require the
assumption that the transport map is Lipschitz, a strong requirement that, in
particular, excludes any examples where the transport map is discontinuous. As
a first step towards developing estimation procedures for discontinuous maps,
we consider the important special case where the data distribution $Q$ is a
discrete measure supported on a finite number of points in $\mathbb R^d$. We
study a computationally efficient estimator initially proposed by Pooladian and
Niles-Weed (2021), based on entropic optimal transport, and show in the
semi-discrete setting that it converges at the minimax-optimal rate $n^{-1/2}$,
independent of dimension. Other standard map estimation techniques both lack
finite-sample guarantees in this setting and provably suffer from the curse of
dimensionality. We confirm these results in numerical experiments, and provide
experiments for other settings, not covered by our theory, which indicate that
the entropic estimator is a promising methodology for other discontinuous
transport map estimation problems.
- Abstract（参考訳）: 我々は,2つの確率分布間の最適輸送写像,$P$と$Q$ in $\mathbb R^d$を,i.d.サンプルに基づいて推定する問題を考える。
既存の統計分析では、輸送写像がリプシッツであるという仮定が必要であり、特に輸送写像が不連続であるような例を除外する強い要求である。
不連続写像の推定手順を開発するための第一歩として、データ分布 $Q$ が $\mathbb R^d$ の有限点上で支えられる離散測度である重要な特別な場合を考える。
本研究では,2021年にpooladian と niles-weed (niles-weed) によって提唱された,エントロピー的最適移動に基づく計算効率の高い推定器について検討し,次元に依存しない最小最適速度 $n^{-1/2}$ で収束することを示す。
他の標準的な地図推定手法はこの設定において有限個の保証を欠き、明らかに次元の呪いに苦しむ。
我々はこれらの結果を数値実験で確認し, エントロピック推定器が他の不連続輸送地図推定問題に対して有望な手法であることを示唆する, 本理論ではカバーされていない他の設定に対する実験を行う。
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