論文の概要: Sparse Cholesky Factorization for Solving Nonlinear PDEs via Gaussian
Processes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2304.01294v2
- Date: Thu, 4 May 2023 18:14:09 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-05-08 16:53:50.024263
- Title: Sparse Cholesky Factorization for Solving Nonlinear PDEs via Gaussian
Processes
- Title（参考訳）: ガウス過程による非線形PDEのスパースコレスキー分解
- Authors: Yifan Chen, Houman Owhadi, Florian Sch\"afer
- Abstract要約: 一般非線形偏微分方程式(PDE)を解くためのガウス過程(GP)フレームワークの計算スケーラビリティについて検討する。
ディラックスと微分測定の新しい順序付けの下で、コレスキー因子のほぼ疎度に基づいて、そのようなカーネル行列に対するスパースチョレスキー分解アルゴリズムを提案する。
非線形楕円型, バーガース, モンジュアンペア方程式など, 幅広い非線形PDEに対して, アルゴリズムのほぼ線形空間/時間複雑性を数値的に説明する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 17.40221303803024
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study the computational scalability of a Gaussian process (GP) framework
for solving general nonlinear partial differential equations (PDEs). This
framework transforms solving PDEs to solving quadratic optimization problem
with nonlinear constraints. Its complexity bottleneck lies in computing with
dense kernel matrices obtained from pointwise evaluations of the covariance
kernel of the GP and its partial derivatives at collocation points.
We present a sparse Cholesky factorization algorithm for such kernel matrices
based on the near-sparsity of the Cholesky factor under a new ordering of
Diracs and derivative measurements. We rigorously identify the sparsity pattern
and quantify the exponentially convergent accuracy of the corresponding Vecchia
approximation of the GP, which is optimal in the Kullback-Leibler divergence.
This enables us to compute $\epsilon$-approximate inverse Cholesky factors of
the kernel matrices with complexity $O(N\log^d(N/\epsilon))$ in space and
$O(N\log^{2d}(N/\epsilon))$ in time.
With the sparse factors, gradient-based optimization methods become scalable.
Furthermore, we can use the oftentimes more efficient Gauss-Newton method, for
which we apply the conjugate gradient algorithm with the sparse factor of a
reduced kernel matrix as a preconditioner to solve the linear system. We
numerically illustrate our algorithm's near-linear space/time complexity for a
broad class of nonlinear PDEs such as the nonlinear elliptic, Burgers, and
Monge-Amp\`ere equations. In summary, we provide a fast, scalable, and accurate
method for solving general PDEs with GPs.
- Abstract（参考訳）: 一般非線形偏微分方程式(PDE)を解くためのガウス過程(GP)フレームワークの計算スケーラビリティについて検討する。
この枠組みはPDEを非線形制約で2次最適化問題に変換する。
その複雑性のボトルネックは、GPの共分散核とその偏微分のコロケーション点での点での評価から得られる高密度なカーネル行列による計算にある。
ディラックスと微分測定の新しい順序付けの下で、コレスキー因子のほぼ疎度に基づいて、そのようなカーネル行列に対するスパースチョレスキー分解アルゴリズムを提案する。
我々は,スパルシリティパターンを厳密に同定し,kullback-leiblerダイバージェンスにおいて最適であるgpの対応するvecchia近似の指数収束精度を定量化する。
これにより、空間上の複雑性 $o(n\log^d(n/\epsilon))$ と時間内に $o(n\log^{2d}(n/\epsilon))$ を持つカーネル行列の逆コレスキー係数を計算できる。
スパース因子により、勾配に基づく最適化手法はスケーラブルになる。
さらに、しばしばより効率的なガウス・ニュートン法を用いることで、線形系を解くために、縮小されたカーネル行列のスパース係数と共役勾配アルゴリズムを適用することができる。
非線形楕円型, バーガー型, モンジュアンプ型といった幅広い非線形pdesに対して, アルゴリズムの近似空間/時間複雑性を数値的に示す。
要約すると、GPで一般的なPDEを解くための高速でスケーラブルで正確な方法を提供する。
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