論文の概要: Learning on Manifolds: Universal Approximations Properties using
Geometric Controllability Conditions for Neural ODEs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2305.08849v1
- Date: Mon, 15 May 2023 17:59:02 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-05-16 13:18:23.174793
- Title: Learning on Manifolds: Universal Approximations Properties using
Geometric Controllability Conditions for Neural ODEs
- Title（参考訳）: マニフォールドの学習:ニューラルネットワークの幾何学的制御性条件を用いた普遍近似特性
- Authors: Karthik Elamvazhuthi, Xuechen Zhang, Samet Oymak, Fabio Pasqualetti
- Abstract要約: 与えられた多様体を不変に残すニューラル常微分方程式のクラスを研究する。
多様体に制約された力学系のフローとして表現できる任意の写像は、多様体に制約されたニューラルODEの流れを用いて近似できることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 29.87898857250788
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: In numerous robotics and mechanical engineering applications, among others,
data is often constrained on smooth manifolds due to the presence of rotational
degrees of freedom. Common datadriven and learning-based methods such as neural
ordinary differential equations (ODEs), however, typically fail to satisfy
these manifold constraints and perform poorly for these applications. To
address this shortcoming, in this paper we study a class of neural ordinary
differential equations that, by design, leave a given manifold invariant, and
characterize their properties by leveraging the controllability properties of
control affine systems. In particular, using a result due to Agrachev and
Caponigro on approximating diffeomorphisms with flows of feedback control
systems, we show that any map that can be represented as the flow of a
manifold-constrained dynamical system can also be approximated using the flow
of manifold-constrained neural ODE, whenever a certain controllability
condition is satisfied. Additionally, we show that this universal approximation
property holds when the neural ODE has limited width in each layer, thus
leveraging the depth of network instead for approximation. We verify our
theoretical findings using numerical experiments on PyTorch for the manifolds
S2 and the 3-dimensional orthogonal group SO(3), which are model manifolds for
mechanical systems such as spacecrafts and satellites. We also compare the
performance of the manifold invariant neural ODE with classical neural ODEs
that ignore the manifold invariant properties and show the superiority of our
approach in terms of accuracy and sample complexity.
- Abstract（参考訳）: 多くのロボット工学や機械工学の応用において、データは回転自由度の存在により滑らかな多様体に制約されることが多い。
しかし、ニューラル常微分方程式(ODE)のような一般的なデータ駆動型および学習ベースの手法は、一般的にこれらの多様体の制約を満たすことができず、これらの応用には不十分である。
そこで本研究では, 与えられた多様体の不変性を残し, 制御アフィン系の可制御性を利用して特性を特徴づけるニューラル常微分方程式のクラスについて検討する。
特に, agrachev と caponigro によるフィードバック制御系の流れの微分同相写像近似の結果を用いて, 多様体拘束力学系の流れとして表現できる任意の写像は, 一定の制御可能性条件が満たされるたびに, 多様体拘束神経ode の流れを用いて近似できることを示した。
さらに、この普遍近似特性は、ニューラルネットワークODEが各層に限られた幅を持つときに成り立ち、近似の代わりにネットワークの深さを利用することを示す。
我々は、宇宙船や衛星などの機械系のモデル多様体である多様体 S2 と3次元直交群 SO(3) に対するPyTorch に関する数値実験を用いて、理論的知見を検証する。
また,多様体不変なニューラル・オードの性能と,多様体不変性を無視した古典的ニューラル・オードの性能を比較し,精度とサンプルの複雑さの観点から,我々のアプローチの優位性を示す。
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