論文の概要: Topological complexity of spiked random polynomials and finite-rank spherical integrals

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.12323v1
• Date: Tue, 19 Dec 2023 16:52:01 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-12-20 14:51:45.025125
• Title: Topological complexity of spiked random polynomials and finite-rank spherical integrals
• Title（参考訳）: スパイクされたランダム多項式と有限ランク球面積分の位相複雑性
• Authors: Vanessa Piccolo
• Abstract要約: 特に,有限ランクスパイクされたガウス・ウィグナー行列の平均臨界点数の指数式と局所パラメータの行列式を定式化する。 この分析は、[Guionnet, Husson] による有限ランク球面積分の最近の進歩に基づいて、多ランクスパイクされたガウス・ウィグナー行列の大きな偏差を研究する。 外部パラメータの正確なしきい値があり、一度超えると、複雑性関数は与えられたベクトルに臨界点が近い新しい領域に消える。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.1756081703276
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study the annealed complexity of a random Gaussian homogeneous polynomial on the $N$-dimensional unit sphere in the presence of deterministic polynomials that depend on fixed unit vectors and external parameters. In particular, we establish variational formulas for the exponential asymptotics of the average number of total critical points and of local maxima. This is obtained through the Kac-Rice formula and the determinant asymptotics of a finite-rank perturbation of a Gaussian Wigner matrix. More precisely, the determinant analysis is based on recent advances on finite-rank spherical integrals by [Guionnet, Husson 2022] to study the large deviations of multi-rank spiked Gaussian Wigner matrices. The analysis of the variational problem identifies a topological phase transition. There is an exact threshold for the external parameters such that, once exceeded, the complexity function vanishes into new regions in which the critical points are close to the given vectors. Interestingly, these regions also include those where critical points are close to multiple vectors.
• Abstract（参考訳）: 固定単位ベクトルと外部パラメータに依存する決定論的多項式の存在下で、ランダムなガウス同次多項式のN$次元単位球面上のアニール付き複雑性について検討する。 特に,全臨界点の平均点数と局所最大点の平均の指数的漸近式について変分式を定式化する。 これはKac-Riceの公式とガウス・ウィグナー行列の有限ランク摂動の決定的漸近によって得られる。 より正確には、行列式解析は[guionnet, husson 2022] による有限ランク球面積分の最近の進歩に基づき、多ランクスパイクガウスウィグナー行列の大きな偏差を研究する。 変分問題の解析により位相相転移が特定される。 外部パラメータの正確なしきい値があり、一度超えると、複雑性関数は与えられたベクトルに臨界点が近い新しい領域に消える。 興味深いことに、これらの領域は臨界点が複数のベクトルに近くなる領域も含む。

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