論文の概要: Fisher-Rao distance and pullback SPD cone distances between multivariate normal distributions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.10644v1
• Date: Thu, 20 Jul 2023 07:14:58 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-07-21 14:21:24.702706
• Title: Fisher-Rao distance and pullback SPD cone distances between multivariate normal distributions
• Title（参考訳）: 多変量正規分布間のフィッシャー・ラオ距離とプルバックSPDコーン距離
• Authors: Frank Nielsen
• Abstract要約: 正規多様体の準多様体への微分同相埋め込みに基づく距離のクラスを導入する。 コーン上の射影ヒルベルト距離が埋め込み正規部分多様体上の計量となることを示す。 このような距離をクラスタリングタスクでどのように使うかを示します。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.729120803225065
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Data sets of multivariate normal distributions abound in many scientific areas like diffusion tensor imaging, structure tensor computer vision, radar signal processing, machine learning, just to name a few. In order to process those normal data sets for downstream tasks like filtering, classification or clustering, one needs to define proper notions of dissimilarities between normals and paths joining them. The Fisher-Rao distance defined as the Riemannian geodesic distance induced by the Fisher information metric is such a principled metric distance which however is not known in closed-form excepts for a few particular cases. In this work, we first report a fast and robust method to approximate arbitrarily finely the Fisher-Rao distance between multivariate normal distributions. Second, we introduce a class of distances based on diffeomorphic embeddings of the normal manifold into a submanifold of the higher-dimensional symmetric positive-definite cone corresponding to the manifold of centered normal distributions. We show that the projective Hilbert distance on the cone yields a metric on the embedded normal submanifold and we pullback that cone distance with its associated straight line Hilbert cone geodesics to obtain a distance and smooth paths between normal distributions. Compared to the Fisher-Rao distance approximation, the pullback Hilbert cone distance is computationally light since it requires to compute only the extreme minimal and maximal eigenvalues of matrices. Finally, we show how to use those distances in clustering tasks.
• Abstract（参考訳）: 多変量正規分布のデータセットは、拡散テンソルイメージング、構造テンソルコンピュータビジョン、レーダー信号処理、機械学習など多くの科学分野に豊富に存在する。 フィルタリングや分類、クラスタリングといった下流タスクのための通常のデータセットを処理するためには、通常のものとパスの相違点を適切に定義する必要がある。 フィッシャー情報計量によって引き起こされるリーマン測地線距離として定義されるフィッシャー・ラオ距離は、そのような原理的な距離距離であるが、いくつかの特別な場合を除いて閉じた形では知られていない。 本研究では,多変量正規分布間のフィッシャー・ラオ距離を任意に近似する高速でロバストな手法を最初に報告する。 第二に、正規多様体の微分同相埋め込みに基づく距離のクラスを、中心となる正規分布の多様体に対応する高次元対称正定円錐の部分多様体に導入する。 円錐上の射影ヒルベルト距離は、埋め込まれた正規部分多様体上の計量となり、その円錐距離を対応する直線ヒルベルト錐測地線と引き戻し、正規分布間の距離と滑らかな経路を得ることを示す。 フィッシャー-ラオ距離近似と比較して、プルバックヒルベルト錐距離は行列の極小および極大固有値のみを計算する必要があるため、計算的に軽い。 最後に、これらの距離をクラスタリングタスクで使う方法を示す。

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