論文の概要: Infinite-dimensional Mahalanobis Distance with Applications to Kernelized Novelty Detection

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2407.11873v2
• Date: Wed, 28 May 2025 14:12:53 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-29 17:35:50.00173
• Title: Infinite-dimensional Mahalanobis Distance with Applications to Kernelized Novelty Detection
• Title（参考訳）: 不定次元マハラノビス距離とカーネル化ノベルティ検出への応用
• Authors: Nikita Zozoulenko, Thomas Cass, Lukas Gonon,
• Abstract要約: マハラノビス距離の概念を分離可能なバナッハ空間に拡張し、確率測度に付随するキャメロン・マルティンノルムとして再解釈する。 このアプローチは、いわゆる分散ノルムを通じて、ベースフリーでデータ駆動の異常距離の概念をもたらす。 12の実世界のデータセットに関する実証的研究において、核化された最も近いマハラノビス距離が従来の核化されたマハラノビス距離より優れていることを示した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.389598109913754
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The Mahalanobis distance is a classical tool used to measure the covariance-adjusted distance between points in $\bbR^d$. In this work, we extend the concept of Mahalanobis distance to separable Banach spaces by reinterpreting it as a Cameron-Martin norm associated with a probability measure. This approach leads to a basis-free, data-driven notion of anomaly distance through the so-called variance norm, which can naturally be estimated using empirical measures of a sample. Our framework generalizes the classical $\bbR^d$, functional $(L^2[0,1])^d$, and kernelized settings; importantly, it incorporates non-injective covariance operators. We prove that the variance norm is invariant under invertible bounded linear transformations of the data, extending previous results which are limited to unitary operators. In the Hilbert space setting, we connect the variance norm to the RKHS of the covariance operator and establish consistency and convergence results for estimation using empirical measures. Using the variance norm, we introduce the notion of a kernelized nearest-neighbour Mahalanobis distance. In an empirical study on 12 real-world data sets, we demonstrate that the kernelized nearest-neighbour Mahalanobis distance outperforms the traditional kernelized Mahalanobis distance for multivariate time series novelty detection, using state-of-the-art time series kernels such as the signature, global alignment, and Volterra reservoir kernels.
• Abstract（参考訳）: マハラノビス距離(英: Mahalanobis distance)は、$\bbR^d$の点間の共分散調整距離を測定する古典的なツールである。 本研究では、マハラノビス距離の概念を可分バナッハ空間に拡張し、確率測度に付随するキャメロン・マルティンノルムとして再解釈する。 このアプローチは、サンプルの実証測度を用いて自然に推定できる、いわゆる分散ノルムを通じて、ベースフリーでデータ駆動の異常距離の概念をもたらす。 我々のフレームワークは古典的な$\bbR^d$、関数的な$(L^2[0,1])^d$、カーネル化された設定を一般化する。 分散ノルムは、データの可逆有界線型変換の下で不変であることが証明され、ユニタリ作用素に制限された以前の結果を拡張する。 ヒルベルト空間設定では、分散ノルムを共分散作用素のRKHSに接続し、経験的測度を用いた推定のための一貫性および収束結果を確立する。 分散ノルムを用いることで、核化された最も近いマハラノビス距離の概念を導入する。 12の実世界のデータセットに関する実証的研究において、核化された最も近いマハラノビス距離は、署名、大域的アライメント、ボルテラ貯水池核といった最先端の時系列カーネルを用いて、多変量時系列の新規性検出のために従来のカーネル化されたマハラノビス距離よりも優れていることを示した。

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