論文の概要: Projective toric designs, difference sets, and quantum state designs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.13479v1
• Date: Wed, 22 Nov 2023 15:48:39 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-11-23 14:42:15.215088
• Title: Projective toric designs, difference sets, and quantum state designs
• Title（参考訳）: 射影的トーリック設計、差集合、量子状態設計
• Authors: Joseph T. Iosue, T. C. Mooney, Adam Ehrenberg, Alexey V. Gorshkov
• Abstract要約: 次数$t$の三角立方体規則(英: Trigonometric cubature rules of degree $t$)は、トーラス上の点の集合で、和がトーラス全体の上の次数$t$単項積分を再現する。 量子力学の射影構造に動機付けられ、射影トーラス上の$t$-designsという概念を発展させる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Trigonometric cubature rules of degree $t$ are sets of points on the torus over which sums reproduce integrals of degree $t$ monomials over the full torus. They can be thought of as $t$-designs on the torus. Motivated by the projective structure of quantum mechanics, we develop the notion of $t$-designs on the projective torus, which, surprisingly, have a much more restricted structure than their counterparts on full tori. We provide various constructions of these projective toric designs and prove some bounds on their size and characterizations of their structure. We draw connections between projective toric designs and a diverse set of mathematical objects, including difference and Sidon sets from the field of additive combinatorics, symmetric, informationally complete positive operator valued measures (SIC-POVMs) and complete sets of mutually unbiased bases (MUBs) (which are conjectured to relate to finite projective geometry) from quantum information theory, and crystal ball sequences of certain root lattices. Using these connections, we prove bounds on the maximal size of dense $B_t \bmod m$ sets. We also use projective toric designs to construct families of quantum state designs. Finally, we discuss many open questions about the properties of these projective toric designs and how they relate to other questions in number theory, geometry, and quantum information.
• Abstract（参考訳）: 次数$t$の三角法キューバチャー規則はトーラス上の点の集合であり、トーラス全体上の次数$t$モノミアルの積分を総和で再現する。 トーラスの$t$-designsと考えることができる。 量子力学の射影構造に動機づけられた私たちは、射影トーラス上の$t$-designsという概念を開発し、驚くべきことに、完全なトーラス上のそれよりもはるかに制限された構造を持つ。 これらの射影トーリック設計の様々な構成を提供し、その大きさと特徴についていくつかの限界を証明している。 我々は、射影トーリック設計と、加法的コンビネータの分野からの差分とシドン集合、対称的で情報的に完備な正の作用素値測度(SIC-POVM)、量子情報理論から相互に偏りのない基底(MUB)の完全集合(有限射影幾何学に関係していると推測される)、および特定の根格子の結晶球列を含む様々な数学的対象との接続を描いている。 これらの接続を用いることで、密閉な $b_t \bmod m$ 集合の最大サイズの境界を証明できる。 また、射影トーリック設計を用いて量子状態設計のファミリを構築する。 最後に、これらの射影トーリック設計の性質や、数論、幾何学、量子情報における他の問題との関係について、多くのオープンな疑問を議論する。

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