論文の概要: How to Map Linear Differential Equations to Schr\"{o}dinger Equations
via Carleman and Koopman-von Neumann Embeddings for Quantum Algorithms
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.15628v1
- Date: Mon, 27 Nov 2023 08:48:56 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-11-28 16:25:33.257997
- Title: How to Map Linear Differential Equations to Schr\"{o}dinger Equations
via Carleman and Koopman-von Neumann Embeddings for Quantum Algorithms
- Title（参考訳）: 線形微分方程式をcarlemanとkoopman-von neumannによる量子アルゴリズムのためのschr\"{o}dinger方程式に写像する方法
- Authors: Yuki Ito, Yu Tanaka, Keisuke Fujii
- Abstract要約: 線形微分方程式の条件をシュラー・オーディンガー方程式にマッピングし,量子コンピュータ上で解いた。
観測可能な値の期待値を推定する計算複雑性を計算する。
これらの結果は、大自由度微分方程式を解くための量子アルゴリズムの構築において重要である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.6003521378074745
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Solving linear and nonlinear differential equations with large degrees of
freedom is an important task for scientific and industrial applications. In
order to solve such differential equations on a quantum computer, it is
necessary to embed classical variables into a quantum state. While the Carleman
and Koopman-von Neumann embeddings have been investigated so far, the class of
problems that can be mapped to the Schr\"{o}dinger equation is not well
understood even for linear differential equations. In this work, we investigate
the conditions for linear differential equations to be mapped to the
Schr\"{o}dinger equation and solved on a quantum computer. Interestingly, we
find that these conditions are identical for both Carleman and Koopman-von
Neumann embeddings. We also compute the computational complexity associated
with estimating the expected values of an observable. This is done by assuming
a state preparation oracle, block encoding of the mapped Hamiltonian via either
Carleman or Koopman-von Neumann embedding, and block encoding of the observable
using $O(\log M)$ qubits with $M$ is the mapped system size. Furthermore, we
consider a general classical quadratic Hamiltonian dynamics and find a
sufficient condition to map it into the Schr\"{o}dinger equation. As a special
case, this includes the coupled harmonic oscillator model [Babbush et al.,
\cite{babbush_exponential_2023}]. We also find a concrete example that cannot
be described as the coupled harmonic oscillator but can be mapped to the
Schr\"{o}dinger equation in our framework. These results are important in the
construction of quantum algorithms for solving differential equations of
large-degree-of-freedom.
- Abstract（参考訳）: 自由度が大きい線形および非線形微分方程式を解くことは、科学的および工業的応用にとって重要な課題である。
このような微分方程式を量子コンピュータ上で解くためには、古典変数を量子状態に組み込む必要がある。
カールマンとクープマン・フォン・ノイマンの埋め込みはこれまでに研究されているが、シュルンディンガー方程式に写像できる問題のクラスは線型微分方程式においてもよく理解されていない。
そこで本研究では,線形微分方程式をSchr\"{o}dinger方程式にマッピングし,量子コンピュータ上で解く条件について検討する。
興味深いことに、これらの条件はCarleman と Koopman-von Neumann の埋め込みと同一である。
また,可観測器の期待値の推定に関連する計算量を計算する。
これは状態準備の神託を仮定し、カールマンまたはクープマン・フォン・ノイマンの埋め込みを通して写像されたハミルトンンのブロック符号化を仮定し、$O(\log M)$ qubits with $M$は写像されたシステムサイズである。
さらに、一般の古典的二次ハミルトニアン力学を考察し、それをschr\"{o}dinger方程式に写像するのに十分な条件を見つける。
特別の場合、これは結合調和振動子モデル [Babbush et al., \cite{babbush_exponential_2023}] を含む。
また、結合調和振動子として説明できない具体的な例も見つかるが、我々のフレームワークの「シュル」{o}ディンガー方程式に写像できる。
これらの結果は、大自由度微分方程式を解くための量子アルゴリズムの構築において重要である。
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