論文の概要: Arithmeticity and covering rate of the $9$-cyclotomic
Clifford+$\mathcal{D}$ gates in $PU(3)$
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.16120v1
- Date: Mon, 29 Jan 2024 12:46:24 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-01-30 14:51:23.399036
- Title: Arithmeticity and covering rate of the $9$-cyclotomic
Clifford+$\mathcal{D}$ gates in $PU(3)$
- Title(参考訳): 9-cyclotomic clifford+$\mathcal{d}$ gatesの$pu(3)$における算術性と被覆率
- Authors: Shai Evra and Ori Parzanchevski
- Abstract要約: PU(3) のアナログゲート Clifford+$mathcalD$ について検討する。
この集合は PU(3) の完全な S-算術的部分群を生成し、より弱い準最適被覆特性を満たすことを示す。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The Clifford+T gate set is a topological generating set for PU(2), which has
been well-studied from the perspective of quantum computation on a single
qubit. The discovery that it generates a full S-arithmetic subgroup of PU(2)
has led to a fruitful interaction between quantum computation and number
theory, leading in particular to a proof that words in these gates cover PU(2)
in an almost-optimal manner.
In this paper we study an analogue gate set for PU(3) called
Clifford+$\mathcal{D}$. We show that this set generates a full S-arithmetic
subgroup of PU(3), and satisfies a slightly weaker almost-optimal covering
property. Our proofs are different from those for PU(2): while both gate sets
act naturally on a (Bruhat-Tits) tree, in PU(2) the generated group acts
transitively on the vertices of the tree, and this is a main ingredient in
proving both arithmeticity and efficiency. In the PU(3)
(Clifford+$\mathcal{D}$) case the action on the tree is far from being
transitive. This makes the proof of arithmeticity considerably harder, and the
study of covering rate by automorphic representation theory becomes more
involved and results in a slower covering rate.
- Abstract(参考訳): clifford+t ゲート集合は pu(2) の位相的生成集合であり、単一の量子ビット上の量子計算の観点からよく研究されている。
PU(2)の完全なS-算術部分群を生成するという発見は、量子計算と数論の間の実りある相互作用をもたらし、特にこれらのゲートの単語がPU(2)をほぼ最適にカバーしているという証明につながった。
本稿では,PU(3) の類似ゲート Clifford+$\mathcal{D}$ について検討する。
この集合は PU(3) の完全な S-算術的部分群を生成し、より弱い準最適被覆特性を満たすことを示す。
我々の証明は PU(2) の証明とは異なる: どちらのゲート集合も自然に(Bruhat-Tits)木に作用するが、PU(2) では生成された群は木の頂点に推移的に作用し、これは算術性と効率性の両方を証明する主要な要素である。
PU(3) (Clifford+$\mathcal{D}$) の場合、木の作用は過渡的ではない。
これにより算術性の証明がかなり難しくなり、自己同型表現論による被覆率の研究がより深く関与し、被覆率が遅くなる。
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